TOUGH
최소 원소 조건
부분집합의 개수와 참·거짓 판정
출제의도
2015년 09월 고2 학력평가 나형 20번으로 출제된 [보기] 판정형 문항입니다. 승부는 첫 줄에서 갈립니다. “n을 최소의 원소로 갖는다”를 n은 반드시 포함하고, n보다 작은 원소는 하나도 넣지 않으며, n보다 큰 원소는 자유라는 세 가지 조건으로 정확히 분해할 수 있어야 합니다.
그렇게 하면 f(n)=210−n이라는 간단한 식이 나오고, 이후 ㄱ·ㄴ·ㄷ은 모두 이 식의 대입 계산으로 끝납니다. TOUGH 스텝에 배치된 이유는 지수의 형태를 만드는 과정에서 −1을 한 번 더 빼거나 덜 빼는 실수가 잦고, ㄴ에서 f가 감소함수라는 사실을 놓치고 부등호 방향을 반대로 판단하기 때문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
X={1, 2, …, 10}의 부분집합 중 n이 최소 원소인 집합을 만들어 봅시다. 먼저 n은 반드시 넣어야 하고, 1부터 n−1까지는 하나라도 넣으면 최소 원소가 n보다 작아지므로 전부 제외해야 합니다.
그렇다면 자유롭게 넣었다 뺐다 할 수 있는 원소는 n+1부터 10까지뿐입니다. 그 개수가 몇 개인지 세어 보세요. 이것이 f(n)의 정체입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
자유 원소가 10−n개이므로 f(n)=210−n입니다. n=10일 때 f(10)=20=1({10} 하나)이 되는지 대입해 검산하면 지수 실수를 바로 잡을 수 있습니다.
ㄴ은 n이 커질수록 지수가 작아진다는 점, 즉 f가 감소한다는 점만 확인하면 됩니다. ㄷ은 29, 27, 25, 23, 21을 그대로 더하거나, 공비가 4인 등비수열의 합으로 묶어서 계산하세요.
정답 확인
정답 ③ ㄱ, ㄷ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Af(n)을 식으로 나타내기
n을 최소 원소로 갖는 X의 부분집합은 1, 2, …, n−1을 원소로 갖지 않으면서 n은 반드시 원소로 갖는 집합입니다. 남은 n+1, …, 10의 10−n개 원소가 자유이므로 f(n)=210−(n−1)−1=210−n (1≤n≤10)입니다.
STEP Bㄱ, ㄴ, ㄷ의 참·거짓 판정하기
ㄱ. f(8)=210−8=22=4이므로 참입니다.
ㄴ. 반례를 들면 7∈X, 8∈X이고 7<8이지만 f(7)=23=8, f(8)=22=4이므로 f(7)>f(8)입니다. 따라서 거짓입니다.
ㄷ. f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)=29+27+25+23+21=512+128+32+8+2=682이므로 참입니다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이고 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · ㄷ을 등비수열의 합으로 처리하기
ㄷ의 다섯 항 21, 23, 25, 27, 29은 첫항이 2이고 공비가 4인 등비수열입니다. 따라서 합은 2(45−1)/(4−1)=2×1023/3=682로 한 줄에 나옵니다. 지수가 더 커지는 변형 문항에서 시간을 크게 줄여 주는 처리입니다.
또 하나의 시각은 f(1)+f(2)+…+f(10)=29+28+…+20=1023이라는 사실입니다. 이는 X의 공집합이 아닌 부분집합 전체의 개수와 정확히 일치합니다. 공집합이 아닌 모든 부분집합은 최소 원소를 단 하나만 가지므로, 최소 원소가 무엇인지에 따라 전체가 빠짐없이 겹침 없이 분류된다는 뜻입니다. 이 관점을 익혀 두면 f의 의미가 훨씬 선명해집니다.
실수를 줄이는 전략
- 지수를 세울 때 “n보다 작은 원소 제외”와 “n은 반드시 포함”을 각각 한 번씩만 반영하세요. 10−(n−1)−1=10−n입니다.
- f(10)=1인지 대입해 검산하세요. {10} 하나뿐이므로 1이 나와야 하고, 여기서 어긋나면 지수 계산이 틀린 것입니다.
- ㄴ은 부등호 방향 함정입니다. n이 커지면 자유 원소가 줄어드니 f는 감소합니다. 반례 하나만 제시하면 판정이 끝납니다.
- ㄷ은 f(1)부터가 아니라 홀수 번호만 더한다는 점에 주의하세요. 지수가 9, 7, 5, 3, 1로 2씩 줄어듭니다.
엄선된 풀이 영상
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