행복한 일등급문제
2024년 09월 고1 학력평가 27번
대칭이동
외접원
원주각과 중심각
출제의도
이 문항은 두 번의 대칭이동으로 만들어진 세 점 A, B, C에 대해 서로 다른 두 삼각형의 외접원 반지름을 다루는 문제입니다. r₁과 r₂를 각각 a로 직접 구하려 들면 외심의 좌표를 잡는 계산에 갇히게 됩니다. 이 문제가 요구하는 것은 두 반지름 사이의 비를 먼저 찾는 안목입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 두 번의 관찰이 모두 필요하기 때문입니다. 첫째, 대칭이동은 원점으로부터의 거리를 바꾸지 않으므로 OA=OB=OC이고 따라서 원점 O가 삼각형 ABC의 외심입니다. 둘째, ∠AOC=90°이므로 삼각형 AOC의 외접원에서 선분 AC가 지름이 됩니다. 이 두 가지를 잡으면 r₁r₂=18√2가 r₁에 대한 한 문자 방정식으로 정리되어 계산은 세 줄이면 끝납니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 세 점의 좌표를 a로 정리하세요. A(a, 2)를 직선 y=x에 대해 대칭이동하면 x좌표와 y좌표가 바뀌어 B(2, a)이고, B를 x축에 대해 대칭이동하면 y좌표의 부호만 바뀌어 C(2, −a)입니다.
이제 원점에서 세 점까지의 거리를 각각 계산해 보세요. OA=√(a²+4), OB=√(4+a²), OC=√(4+a²)로 셋이 모두 같습니다. 원점에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같다는 것은 곧 원점이 삼각형 ABC의 외심이라는 뜻이므로 r₁=OA입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
남은 것은 r₂입니다. 삼각형 AOC의 외접원을 직접 잡으려 하지 말고 ∠AOC의 크기부터 확인하세요. 선분 BC와 직선 y=x가 만나는 점을 D(2, 2)라 하면 삼각형 ABD는 직각이등변삼각형이므로 ∠ABC=45°이고, 원점이 삼각형 ABC의 외심이므로 호 AC에 대한 중심각은 원주각의 두 배, 즉 ∠AOC=90°입니다.
∠AOC=90°이면 삼각형 AOC의 외접원에서 선분 AC가 지름이므로 r₂=12AC입니다. 그런데 삼각형 AOC는 OA=OC인 직각이등변삼각형이므로 AC=√2·OA이고, 결국 r₂를 r₁으로 나타낼 수 있습니다. 이것을 r₁×r₂=18√2에 대입하면 r₁²이 바로 나옵니다.
정답 확인
정답 32 (r₁=6, a²+4=36)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A세 점의 좌표와 r₁ 구하기
A(a, 2)를 직선 y=x에 대해 대칭이동하면 B(2, a), 이를 다시 x축에 대해 대칭이동하면 C(2, −a)입니다. 이때 OA=√(a²+2²), OB=√(2²+a²), OC=√(2²+a²)이므로 OA=OB=OC입니다. 즉 원점 O가 삼각형 ABC의 외접원의 중심이므로 r₁=OA=√(a²+4)입니다.
STEP B원주각과 중심각으로 r₂를 r₁로 나타내기
선분 BC와 직선 y=x가 만나는 점을 D라 하면 D(2, 2)입니다.
( i ) ∠ABC=45° — AD는 x축에, BD는 y축에 평행하고 AD=BD=|a−2|이므로 삼각형 BDA는 직각이등변삼각형입니다.
( ii ) ∠AOC=90° — 원점이 삼각형 ABC의 외심이므로 호 AC에 대한 중심각은 원주각 ∠ABC의 두 배입니다.
( iii ) AC가 지름 — ∠AOC=90°이므로 선분 AC는 삼각형 AOC의 외접원의 지름이고, OA=OC인 직각이등변삼각형에서 AC=√2·OA입니다.
따라서 r₂=12AC=√22r₁입니다.
STEP Ca²의 값 계산
r₁×r₂=√22r₁²=18√2이므로 r₁²=36, 즉 r₁=6입니다(반지름은 양수). 이를 r₁=√(a²+4)에 대입하면 a²+4=36이므로 a²=32입니다. 이때 a=4√2로 주어진 조건 a>2를 만족합니다.
1등급 다른 풀이 · 기울기의 곱으로 직각 확인하기
∠AOC=90°는 원주각과 중심각을 거치지 않고 곧바로 확인할 수 있습니다. 시험장에서는 이쪽이 훨씬 빠릅니다.
두 점 O(0, 0), A(a, 2)를 지나는 직선 OA의 기울기는 2a이고, 두 점 O(0, 0), C(2, −a)를 지나는 직선 OC의 기울기는 −a2입니다. 두 기울기의 곱이 2a×(−a2)=−1이므로 두 직선은 서로 수직이고, 따라서 ∠AOC=90°입니다.
이 관찰의 좋은 점은 a에 관계없이 성립한다는 것입니다. 즉 A의 위치가 어디든 ‘직선 y=x 대칭 후 x축 대칭’이라는 두 번의 이동이 만들어내는 각은 항상 90°로 고정되어 있고, 문제의 조건 r₁r₂=18√2는 오직 크기만을 결정합니다. 구조와 크기를 분리해서 보면 문제가 훨씬 단순해집니다.
실수를 줄이는 전략
- 대칭이동 공식을 헷갈리지 마세요. y=x 대칭은 x좌표와 y좌표를 맞바꾸고, x축 대칭은 y좌표의 부호만 바꿉니다. 순서를 바꿔 적용하면 C의 좌표가 (−a, 2) 같은 엉뚱한 점이 됩니다.
- 대칭이동은 원점까지의 거리를 보존합니다. OA=OB=OC를 확인하는 순간 외심이 원점으로 확정되므로, 외심의 좌표를 미지수로 두고 연립하는 긴 계산이 통째로 사라집니다.
- r₁과 r₂를 각각 구하려 하지 마세요. 두 반지름의 비 r₂=(√2/2)r₁을 찾으면 r₁r₂=18√2가 r₁만의 방정식이 됩니다. 곱의 조건이 주어졌다는 것 자체가 비를 찾으라는 신호입니다.
- 직각삼각형의 외접원은 빗변이 지름입니다. 이 사실을 잊고 세 변의 수직이등분선을 그리기 시작하면 시간이 배로 듭니다.
- 마지막에 묻는 것이 a가 아니라 a²임을 확인하세요. a²=32에서 멈추면 되고, a=4√2까지 구한 뒤 그대로 답으로 쓰면 오답입니다. 다만 a>2 조건을 만족하는지는 점검하는 습관이 좋습니다.
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