행복한 일등급문제
2016년 09월 고1 학력평가 30번
대칭이동
최단거리
이차함수의 최솟값
출제의도
이 문항은 좌표가 하나도 주어지지 않은 삼각형을 스스로 좌표평면 위에 올려놓는 것에서 시작합니다. 세 변의 길이 3√2, 4, √10만 주어져 있고 D, E, F는 각 변 위 어디든 놓일 수 있으므로, 세 점을 동시에 움직이며 둘레를 최소로 만드는 구조입니다. 이렇게 ‘꺾인 경로의 최소’를 묻는 문제의 정석 도구가 바로 대칭이동입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 최소화를 두 번 해야 하기 때문입니다. 먼저 F를 고정한 채 D, E를 움직여 경로를 직선으로 펴고(1차 최소화), 그렇게 얻은 길이가 다시 F의 위치에 따라 변하므로 이차함수의 최솟값으로 한 번 더 줄여야 합니다(2차 최소화). 대칭이동을 두 변에 대해 각각 적용해야 한다는 점, 그리고 F가 선분 CA 위에만 있을 수 있다는 범위 조건까지 챙겨야 답이 완성됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 삼각형을 좌표평면 위에 올리세요. 가장 계산이 편한 배치는 B를 원점, C를 (4, 0), A를 제1사분면에 두는 것입니다. A(a, b)로 두면 a²+b²=18, (a−4)²+b²=10이므로 두 식을 빼서 a=3, 이어서 b=3, 즉 A(3, 3)입니다.
여기서 반드시 눈에 담아둘 사실이 하나 있습니다. 직선 AB가 y=x이고 직선 BC가 x축이므로 ∠B=45°입니다. 이 각이 뒤에서 계산을 통째로 줄여줍니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
세 점을 한꺼번에 움직이려 하지 말고 F를 잠시 고정하세요. D는 직선 AB 위, E는 x축 위에 있으므로, F를 직선 AB에 대해 대칭이동한 점 F′와 x축에 대해 대칭이동한 점 F″를 잡으면 FD=F′D, EF=EF″가 됩니다. 그러면 둘레는 F′D+DE+EF″가 되어 F′F″보다 작아질 수 없습니다. 등호는 네 점 F′, D, E, F″이 한 직선 위에 있을 때 성립합니다.
이제 F를 움직입니다. F는 직선 AC 위의 점이므로 F(α, −3α+12)로 두고 F′F″의 길이를 α로 나타내세요. 근호 안이 α에 대한 이차식이 되므로 완전제곱으로 최솟값을 찾으면 됩니다. 이때 3<α<4라는 범위 안에 꼭짓점이 들어오는지 꼭 확인하세요.
정답 확인
정답 17 (최솟값 125√5 이므로 p=5, q=12)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A삼각형을 좌표평면 위에 올려놓기
B를 원점, C(4, 0), A를 제1사분면에 두고 A(a, b)라 하면 AB=3√2에서 a²+b²=18, CA=√10에서 (a−4)²+b²=10입니다. 두 식을 빼면 8a−24=0, 즉 a=3이고 b=3이므로 A(3, 3)입니다. 따라서 직선 AB는 y=x, 직선 AC는 두 점 A(3, 3), C(4, 0)을 지나므로 y=−3x+12입니다.
STEP B대칭이동으로 꺾인 경로 펴기
F(α, β)를 직선 AB(y=x)에 대해 대칭이동하면 F′(β, α), x축에 대해 대칭이동하면 F″(α, −β)입니다.
( i ) 대칭이동으로 보존되는 길이 — D는 직선 AB 위의 점이므로 FD=F′D이고, E는 x축 위의 점이므로 EF=EF″입니다.
( ii ) 부등식으로 정리 — (삼각형 DEF의 둘레)=DE+EF+FD=DE+EF″+F′D ≥ F′F″
( iii ) 등호 조건 — 네 점 F′, D, E, F″이 한 직선 위에 있을 때, 즉 두 점 D, E가 직선 F′F″ 위에 놓일 때 최소가 됩니다.
결국 구하는 최솟값은 F를 움직였을 때 F′F″가 가질 수 있는 최솟값과 같습니다.
STEP CF′F″의 최솟값 구하기
F는 직선 AC 위의 점이므로 β=−3α+12 (단, 3<α<4)입니다. 이때
F′F″=√((α−β)²+(−β−α)²)=√(2α²+2β²)=√(2α²+2(−3α+12)²)=√(20α²−144α+288)
근호 안을 완전제곱하면 20(α−185)²+1445이고, 꼭짓점 α=3.6은 3<α<4 안에 있으므로 최솟값은 √(144/5)=12√5=125√5입니다. 따라서 p=5, q=12이고 p+q=17입니다.
1등급 다른 풀이 · 45°를 이용해 이차함수 없이 끝내기
STEP A에서 확인한 ∠B=45°를 쓰면 마지막 이차함수 계산 자체를 없앨 수 있습니다.
대칭이동은 대칭축 위의 점에서 잰 거리를 바꾸지 않습니다. 점 B는 직선 AB 위에도, x축 위에도 있으므로 BF′=BF=BF″가 성립합니다. 또한 F′는 F를 직선 AB에 대해, F″는 F를 x축에 대해 뒤집은 점이므로 ∠F′BF″는 ∠B의 두 배, 즉 90°입니다.
따라서 삼각형 F′BF″는 직각이등변삼각형이고 F′F″=√2·BF입니다. 즉 둘레의 최솟값은 BF가 최소일 때, 다시 말해 BF가 직선 AC에 수직일 때 나옵니다. 삼각형 ABC의 넓이는 12×4×3=6이고 밑변을 CA=√10으로 보면 높이는 12√10이므로, 최솟값은 √2×12√10=12√5=125√5로 같은 답이 나옵니다. 수선의 발이 선분 AC 위에 있는지만 확인하면 끝입니다.
실수를 줄이는 전략
- 좌표 배치가 절반입니다. 가장 계산이 쉬운 점을 원점에, 한 변을 x축 위에 놓으세요. 여기서는 B를 원점, C를 (4, 0)에 두었기에 A(3, 3)이라는 깔끔한 좌표가 나왔습니다.
- 대칭이동은 두 번입니다. D가 놓인 변(AB)과 E가 놓인 변(BC) 각각에 대해 F를 뒤집어야 합니다. 한 번만 뒤집으면 경로가 펴지지 않습니다.
- 부등식으로 끝내지 말고 등호 조건을 반드시 적으세요. F′, D, E, F″이 한 직선 위에 있다는 조건이 빠지면 논리가 완성되지 않습니다.
- 이차함수의 최솟값은 정의역 확인이 필수입니다. F가 선분 CA 위의 점이므로 3<α<4이고, 꼭짓점 18/5=3.6이 이 범위 안에 들어오기에 그대로 최솟값이 됩니다. 범위를 벗어나면 경계에서의 값을 따져야 합니다.
- 마지막에 p와 q를 바꿔 쓰는 실수가 잦습니다. 최솟값이 qp√5 꼴이므로 분모가 p=5, 분자가 q=12입니다. 12/√5를 유리화하지 않고 그대로 두면 p, q를 읽어낼 수 없습니다.
엄선된 풀이 영상
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