행복한 일등급문제
2019년 03월 고2 학력평가 가형 28번
원의 평행이동
원과 직선의 위치관계
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 원을 두 번 평행이동한 뒤, 각각이 직선과 서로 다른 두 점에서 만날 조건을 자연수 범위에서 따지는 문제입니다. 평행이동은 중심만 옮기고 반지름은 그대로라는 사실, 그리고 ‘두 점에서 만난다’가 곧 (중심과 직선 사이의 거리) < (반지름)이라는 사실 — 이 두 가지가 재료의 전부입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 두 개의 미지수를 순서대로 묶어내는 설계 때문입니다. 조건 (가)는 m만 담고 있어 m의 후보를 먼저 자연수 세 개로 좁혀 주고, 조건 (나)는 m과 n이 함께 얽혀 있어 m을 하나씩 넣어야 n의 범위가 결정됩니다. 부등식 하나를 풀어 끝나는 문제가 아니라, 어떤 조건을 먼저 처리할지 판단하고 경우를 빠짐없이 훑는 태도를 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
원을 평행이동해도 반지름은 변하지 않습니다. 바뀌는 것은 중심뿐이므로, 원의 방정식을 매번 전개하지 말고 중심의 좌표만 추적하세요. 원 C의 중심은 (2, 3), 반지름은 3이므로 C₁의 중심은 (2+m, 3), C₂의 중심은 (2+m, 3+n)이고 반지름은 셋 다 3입니다.
다음으로 ‘직선 l과 서로 다른 두 점에서 만난다’를 부등식으로 바꾸세요. 원의 중심과 직선 사이의 거리를 d, 반지름을 r라 할 때 두 점에서 만날 조건은 d < r입니다. 접할 때(d = r)는 만나는 점이 하나이므로 제외해야 합니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
조건 (가)에는 n이 등장하지 않습니다. 따라서 (가)를 먼저 처리해 m의 후보를 확정하는 것이 순서입니다. 점 (2+m, 3)과 직선 4x−3y=0 사이의 거리를 3보다 작다고 놓으면 절댓값 부등식 |4m−1| < 15가 나오고, m이 자연수라는 조건까지 쓰면 후보는 몇 개로 줄어듭니다.
이제 조건 (나)를 같은 방법으로 세우면 m과 n이 함께 들어간 부등식 |4m−3n−1| < 15가 나옵니다. 여기서 n의 범위를 m으로 나타내되, −3n으로 나눌 때 부등호 방향이 뒤집힌다는 점에 주의하세요. 앞에서 구한 m의 값을 하나씩 대입해 각 경우의 n의 최댓값을 구한 뒤, m+n을 비교하면 됩니다.
정답 확인
정답 m+n의 최댓값 = 11
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평행이동으로 두 원의 중심 구하기
원 C : (x−2)² + (y−3)² = 9의 중심은 (2, 3), 반지름은 3입니다. C를 x축 방향으로 m만큼 평행이동한 C₁ : (x−m−2)² + (y−3)² = 9의 중심은 (m+2, 3), 다시 y축 방향으로 n만큼 평행이동한 C₂ : (x−m−2)² + (y−n−3)² = 9의 중심은 (m+2, n+3)입니다. 세 원의 반지름은 모두 3으로 같습니다.
STEP B조건 (가)에서 m의 값 구하기
원 C₁이 직선 l : 4x−3y=0과 서로 다른 두 점에서 만나려면, 중심 (2+m, 3)과 직선 사이의 거리가 반지름 3보다 작아야 합니다.
|4(2+m) − 3×3|√{4² + (−3)²} = |4m−1|5 < 3에서 |4m−1| < 15, 즉 −15 < 4m−1 < 15이므로 −72 < m < 4입니다.
따라서 조건 (가)를 만족시키는 자연수 m의 값은 1, 2, 3입니다.
STEP C조건 (나)에서 m의 값에 따른 n의 범위 구하기
같은 방법으로 중심 (2+m, 3+n)과 직선 사이의 거리를 따지면 |4m−3n−1|5 < 3에서 −15 < 4m−3n−1 < 15이고, 정리하면 4m−163 < n < 4m+143 ······ ㉠입니다.
( i ) m = 1 — ㉠에서 −4 < n < 6이므로 자연수 n은 1, 2, 3, 4, 5. 이 경우 m+n의 최댓값은 1+5 = 6
( ii ) m = 2 — ㉠에서 −83 < n < 223, 즉 −2.66… < n < 7.33…이므로 자연수 n은 1부터 7. 이 경우 m+n의 최댓값은 2+7 = 9
( iii ) m = 3 — ㉠에서 −43 < n < 263, 즉 −1.33… < n < 8.66…이므로 자연수 n은 1부터 8. 이 경우 m+n의 최댓값은 3+8 = 11
STEP Dm+n의 최댓값 결정
( i )~( iii )에서 m = 3, n = 8일 때 가장 크므로 m+n의 최댓값은 11입니다.
1등급 다른 풀이 · 상한식을 먼저 만들어 후보 줄이기
세 경우를 모두 계산하지 않고, m+n의 상한을 식으로 먼저 잡아 두면 검산이 훨씬 빨라집니다. ㉠의 오른쪽 부등식 n < 4m+143의 양변에 m을 더하면 m+n < m + 4m+143 = 7m+143이 됩니다.
이 상한은 m에 대하여 증가하므로, m이 가장 큰 3일 때 가장 큽니다. m = 3을 넣으면 m+n < 353 = 11.66…이므로 m+n ≤ 11이고, 실제로 m = 3, n = 8이 조건을 만족하므로 최댓값은 11로 확정됩니다.
다만 이 논법을 쓸 때는 주의가 필요합니다. 상한이 크다고 해서 언제나 실제 최댓값이 큰 것은 아니어서, 상한에 가장 가까운 자연수가 실제로 조건을 만족하는지를 반드시 확인해야 합니다. 여기서는 m=3에서 n=8이 범위 안에 들어오므로 곧바로 결론이 나지만, 만약 걸리지 않았다면 m=2인 경우와 다시 비교해야 합니다.
실수를 줄이는 전략
- 원의 평행이동에서 바뀌는 것은 중심뿐입니다. 방정식을 전개해 x², y²의 계수를 맞추느라 시간을 쓰지 말고, 중심 좌표만 (2+m, 3) → (2+m, 3+n)으로 따라가세요.
- ‘서로 다른 두 점에서 만난다’는 d < r이며 등호가 들어가지 않습니다. 접하는 경우까지 포함해 d ≤ r로 두면 m의 후보가 하나 늘어나 답이 달라집니다.
- 절댓값 부등식은 |A| < k ⇔ −k < A < k로 한 번에 풀어야 합니다. 두 부등식을 따로 세워 풀다 보면 한쪽 부호를 놓치기 쉽습니다.
- −3n이 들어간 부등식을 n에 대해 정리할 때 부등호 방향이 뒤집힙니다. 이 문항에서 가장 많이 나오는 실수 지점이므로, 정리한 뒤 m=1을 대입해 값이 상식적인지(−4 < n < 6) 한 번 검산하세요.
- m, n은 자연수이므로 0과 음수는 후보가 아닙니다. 또한 m이 클수록 m+n이 크다고 단정하지 말고, m이 커질 때 n의 상한도 함께 커지는지를 확인한 뒤에만 그 논리를 쓰세요.
엄선된 풀이 영상
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