행복한 일등급문제
2024년 10월 고1 학력평가 15번
y=x에 대한 대칭이동
수직이등분선
대각선이 수직인 사각형
출제의도
이 문항의 출발점은 두 점 A(a, b)와 B(b, a)의 관계를 알아채는 것입니다. 좌표가 서로 뒤바뀐 두 점은 직선 y=x에 대하여 대칭이고, 이 사실 하나가 문제 전체의 구조를 결정합니다. 대칭이동을 ‘식을 변형하는 규칙’으로만 외운 학생과 ‘위치 관계를 읽는 도구’로 이해한 학생이 완전히 갈리는 지점입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 조건을 도형 언어로 번역하는 능력을 묻기 때문입니다. AP=BP는 단순한 길이 조건이 아니라 ‘점 P가 선분 AB의 수직이등분선 위에 있다’는 위치 조건이고, 그 수직이등분선이 곧 y=x라는 결론으로 이어집니다. 여기까지 도달하면 P, Q는 지름의 양 끝점으로 확정되고, 나머지는 대각선이 수직인 사각형의 넓이 공식과 곱셈 공식 변형이라는 익숙한 계산으로 마무리됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
A(a, b)와 B(b, a)는 x좌표와 y좌표가 서로 바뀐 점이므로 직선 y=x에 대하여 대칭입니다. 따라서 선분 AB의 수직이등분선은 다름 아닌 직선 y=x입니다.
이제 조건 AP=BP, AQ=BQ를 다시 읽어보세요. 어떤 점에서 두 점 A, B까지의 거리가 같다는 것은 그 점이 선분 AB의 수직이등분선 위에 있다는 뜻입니다. P와 Q는 원 C 위의 점이기도 하므로, 두 점의 위치가 어디로 좁혀지는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
P, Q는 원 C와 직선 y=x의 두 교점이고, 직선 y=x는 원의 중심 O를 지나므로 선분 PQ는 지름입니다. 반지름이 2이니 PQ=4로 고정됩니다.
사각형 APBQ는 두 대각선 AB와 PQ가 서로 수직입니다. 이런 사각형의 넓이는 12 × (대각선) × (대각선)이므로, 넓이 조건에서 AB의 길이가 바로 나옵니다. 마지막으로 AB를 a, b로 표현해 제곱한 뒤, A가 원 위의 점이라는 조건 a²+b²=4를 대입하세요. (a−b)² = a²+b²−2ab라는 곱셈 공식 변형이 마지막 열쇠입니다.
정답 확인
정답 ⑤ a×b = 32
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 점 P, Q의 위치 확정
원 C 위의 서로 다른 두 점 A(a, b), B(b, a)는 x좌표와 y좌표가 바뀐 점이므로 직선 y=x에 대하여 대칭입니다.
AP=BP, AQ=BQ이므로 삼각형 PAB와 삼각형 QAB는 모두 이등변삼각형이고, 두 점 P, Q는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. 그런데 그 수직이등분선은 직선 y=x이므로, P와 Q는 원 C와 직선 y=x의 교점입니다.
STEP B사각형의 넓이에서 선분 AB의 길이 구하기
직선 y=x는 원의 중심인 원점을 지나므로 선분 PQ는 원 C : x²+y²=4의 지름이고 PQ=4입니다. 선분 AB와 직선 y=x의 교점을 H라 하면 AB ⊥ PQ이고 AH = BH입니다.
사각형 APBQ의 넓이 = (삼각형 APQ) + (삼각형 BQP) = 12×PQ×AH + 12×PQ×BH = 2(AH+BH) = 2·AB
넓이가 2√2이므로 2·AB = 2√2, 즉 AB = √2 ······ ㉠입니다.
STEP Ca×b의 값 계산
두 점 A(a, b), B(b, a) 사이의 거리는 AB = √{(b−a)² + (a−b)²} = √{2(a−b)²} ······ ㉡입니다.
㉠과 ㉡에서 2(a−b)² = 2이므로 |a−b| = 1이고, 양변을 제곱하면 a² − 2ab + b² = 1 ······ ㉢입니다. 점 A(a, b)가 원 C 위의 점이므로 a² + b² = 4이고, 이를 ㉢에 대입하면 4 − 2ab = 1, 즉 2ab = 3입니다. 따라서 ab = 32입니다.
1등급 다른 풀이 · 점과 직선 사이의 거리로 한 번에
사각형을 두 삼각형으로 쪼개지 않고, 점 A에서 직선 y=x까지의 거리 하나로 정리할 수도 있습니다. A와 B가 y=x에 대해 대칭이므로 AB의 길이는 곧 A에서 직선 y=x까지 거리의 2배이기 때문입니다.
점 A(a, b)와 직선 x−y=0 사이의 거리는 |a−b|√2이므로 AB = 2|a−b|√2 = √2·|a−b|입니다. 여기에 대각선이 직교하는 사각형의 넓이 공식 12×PQ×AB를 적용하면 12×4×√2|a−b| = 2√2에서 |a−b| = 1이 곧바로 나옵니다.
이 접근의 장점은 그림에서 점 H를 잡거나 AH, BH를 나눌 필요가 없다는 것입니다. 대칭점 사이의 거리 = 대칭축까지 거리의 2배라는 관계는 y=x 대칭 문항 전반에서 반복해 쓰이므로, 하나의 공식처럼 정리해 두면 유리합니다.
실수를 줄이는 전략
- 좌표가 뒤바뀐 두 점을 보면 y=x 대칭을 즉시 떠올리세요. A(a, b)와 B(b, a)는 대칭, A(a, b)와 B(−b, −a)는 y=−x 대칭입니다. 부호 하나로 대칭축이 달라지므로 반드시 구분해 읽어야 합니다.
- “거리가 같다”는 조건은 길이 계산으로 밀어붙이기 전에 수직이등분선이라는 위치 조건으로 번역하세요. 좌표를 문자로 두고 거리 공식을 세우면 식이 급격히 복잡해집니다.
- 넓이 공식 12d₁d₂는 두 대각선이 수직일 때만 성립합니다. 사각형 APBQ에서 대각선은 AB와 PQ이지, AP나 BQ 같은 변이 아니라는 점을 그림에서 확인하고 쓰세요.
- PQ가 지름이 되는 이유는 직선 y=x가 원의 중심을 지나기 때문입니다. 중심이 원점이 아닌 원으로 조건이 바뀌면 이 논리가 무너지므로, 중심 통과 여부를 습관적으로 점검하세요.
- |a−b| = 1에서 a−b = 1과 a−b = −1 두 경우가 나오지만, 묻는 것은 곱 ab이므로 두 경우 모두 같은 값을 줍니다. 굳이 경우를 나눠 시간을 쓰지 말고 제곱한 식을 그대로 활용하세요.
엄선된 풀이 영상
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