행복한 일등급문제
2016년 03월 고2 학력평가 27번
y=x에 대한 대칭이동
두 직선의 교점
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 두 점을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 뒤, 원래 삼각형과 옮겨진 삼각형이 겹치는 부분의 넓이를 묻습니다. 대칭이동 자체는 x좌표와 y좌표를 바꾸는 한 줄로 끝나므로, 실제 난이도는 ‘겹치는 영역이 어떤 도형인가’를 정확히 파악하고 그 넓이를 계산 가능한 형태로 쪼개는 뒷부분에 몰려 있습니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 대칭성을 계산 절약에 쓰는 안목 때문입니다. 공통부분은 직선 y=x에 대하여 대칭인 도형이므로, 절반만 구해 2배 하면 됩니다. 이 구조를 못 보면 네 꼭짓점 좌표를 모두 구해 신발끈 공식으로 밀어붙이게 되고, 분수가 섞인 좌표 때문에 계산 실수가 급격히 늘어납니다. 대칭이동 단원이 왜 ‘이동’이 아니라 ‘구조 읽기’ 단원인지를 보여주는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 대칭이동한 점부터 확정하세요. 직선 y=x에 대한 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 서로 바꾸는 것이므로 A(2, 0) → C(0, 2), B(1, 2) → D(2, 1)입니다.
그다음 그림에서 공통부분의 경계가 어떤 선분들로 이루어지는지 확인하세요. 원점 O는 두 삼각형에 모두 속하는 꼭짓점이고, 나머지 경계는 직선 AB, 직선 OD, 그리고 이들을 y=x에 대해 대칭이동한 직선 CD, 직선 OB가 만들어냅니다. 공통부분 전체가 직선 y=x에 대하여 대칭이라는 점을 반드시 짚고 넘어가세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
대칭성을 쓰면 y=x 아래쪽 절반만 구하면 됩니다. 그 절반은 세 점 O, F, E로 이루어진 삼각형입니다. 여기서 F는 직선 AB와 직선 y=x의 교점, E는 직선 AB와 직선 OD의 교점입니다. 두 교점을 연립으로 구하세요.
넓이를 구할 때는 직선 AB의 기울기가 −2, 직선 OD의 기울기가 12이라는 점을 활용하세요. 기울기의 곱이 −1이므로 삼각형 OEF는 E가 직각인 직각삼각형이 되어, 밑변과 높이를 따로 찾을 필요 없이 OE와 EF를 그대로 곱하면 됩니다. 마지막에 2배 하고 60을 곱하는 것을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 60S = 64
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A대칭이동한 점과 필요한 두 교점 구하기
A(2, 0), B(1, 2)를 y=x에 대하여 대칭이동하면 C(0, 2), D(2, 1)입니다. 직선 AB는 두 점 (2, 0), (1, 2)를 지나므로 y = −2x + 4 ······ ㉠, 직선 OD는 원점과 (2, 1)을 지나므로 y = 12x ······ ㉡입니다.
교점 E — ㉠, ㉡을 연립하면 12x = −2x + 4에서 52x = 4, 즉 E(85, 45)
교점 F — ㉠과 y=x를 연립하면 x = −2x + 4에서 3x = 4, 즉 F(43, 43)
STEP B삼각형 OFE의 넓이 구하기
직선 AB의 기울기 −2와 직선 OD의 기울기 12의 곱이 −1이므로 두 직선은 서로 수직입니다. 따라서 ∠OEF = 90°이고 삼각형 OEF는 직각삼각형입니다.
두 점 사이의 거리 공식으로 계산하면 OE = 4√55, EF = 4√515입니다. 그러므로 삼각형 OEF의 넓이는 12 × 4√55 × 4√515 = 815입니다.
STEP C대칭성을 이용해 60S 계산
공통부분은 직선 y=x에 대하여 대칭이고 삼각형 OEF는 그 아래쪽 절반입니다. 따라서 S = 2 × 815 = 1615이고, 60S = 60 × 1615 = 64가 됩니다.
1등급 다른 풀이 · 밑변을 공유하는 두 삼각형의 차
거리 공식과 루트를 전혀 쓰지 않고도 삼각형 OEF의 넓이를 얻을 수 있습니다. 세 점 O, E, F가 모두 직선 AB 위의 점 또는 원점이라는 점에 주목해, 선분 OA를 공통 밑변으로 삼는 두 삼각형의 차로 보는 방법입니다.
(삼각형 OEF의 넓이) = (삼각형 OAF의 넓이) − (삼각형 OAE의 넓이)로 쪼개면, 두 삼각형은 밑변 OA = 2를 공유하고 높이는 각각 F와 E의 y좌표입니다. 즉 12 × 2 × 43 − 12 × 2 × 45 = 43 − 45 = 815로 곧바로 같은 값이 나옵니다.
이 방식의 장점은 두 점의 y좌표 차이만 알면 된다는 것입니다. 수직 조건을 확인하지 않아도 되고 제곱근 계산이 사라지므로, 시험장에서 시간과 실수를 동시에 줄여 줍니다. 좌표평면에서 넓이를 구할 때는 항상 ‘공통 밑변을 만들 수 있는가’를 먼저 살펴보는 습관이 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- y=x 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 바꾸는 것입니다. A→C, B→D의 대응을 문제에서 지정한 대로 정확히 따라가세요. C와 D를 뒤바꾸면 삼각형 ODC의 모양 자체가 달라집니다.
- 공통부분의 꼭짓점을 눈대중으로 세지 마세요. 두 삼각형의 변 중 어떤 변끼리 만나는지 확인해, 경계가 O·E·F 그리고 E의 대칭점 네 점으로 이루어진다는 것을 그림 위에 직접 표시하고 시작해야 합니다.
- 대칭성을 놓치면 계산량이 두 배가 됩니다. y=x에 대해 대칭인 도형이라는 사실을 확인했다면 절반만 구하고 2배가 원칙입니다. 반대로, 절반을 구해놓고 2배를 잊는 실수도 자주 나옵니다.
- 기울기의 곱이 −1인지 먼저 확인하세요. 직각을 확보하면 두 변의 길이만으로 넓이가 끝나지만, 직각을 못 보면 밑변과 높이를 따로 구하느라 분수 계산이 늘어납니다.
- 마지막에 묻는 것은 S가 아니라 60S입니다. 분모 15는 60의 약수이므로 답이 정수로 떨어지는데, 이 점을 검산의 신호로 활용하세요. 정수가 아니면 어딘가에서 계산이 어긋난 것입니다.
엄선된 풀이 영상
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