행복한 일등급문제
2023년 09월 고1 학력평가 16번
대칭이동
최단거리
두 원 사이의 거리
출제의도
이 문항은 대칭이동의 가장 강력한 쓰임인 꺾인 경로 펴기를 묻습니다. 경로 AP+PQ+QB는 x축에서 한 번, 직선 y=x에서 한 번, 모두 두 번 꺾입니다. 꺾이는 지점이 두 곳이므로 대칭이동도 두 번 해야 경로가 하나의 직선으로 펴집니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 여기에 한 겹이 더 있기 때문입니다. 보통의 최단거리 문제는 양 끝점이 고정되어 있지만, 이 문제에서는 A와 B가 원 위를 움직이는 점입니다. 그래서 경로를 직선으로 편 뒤에도 곧바로 답이 나오지 않고, ‘두 원 위의 점 사이 거리의 최솟값 = 중심 사이의 거리 − 두 반지름’이라는 마지막 단계가 남습니다. 대칭이동과 두 원의 위치관계를 한 문제 안에서 연결하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
P는 x축 위의 점이므로 선분 AP는 x축에서 꺾입니다. 이때 A를 x축에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하면 AP의 길이는 A′P의 길이와 같습니다. 마찬가지로 Q는 직선 y=x 위의 점이므로, B를 y=x에 대하여 대칭이동한 점을 B′이라 하면 QB = QB′입니다.
A와 B는 원 위를 움직이므로, 점 하나가 아니라 원 자체를 대칭이동해 두는 편이 편합니다. 원 C₁을 x축에 대하여, 원 C₂를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 원을 각각 구해 두세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
대칭이동으로 바꾸면 AP+PQ+QB = A′P+PQ+QB′이 되고, 이 값은 네 점 A′, P, Q, B′이 한 직선 위에 순서대로 놓일 때 최소가 되어 선분 A′B′의 길이와 같아집니다.
이제 남은 것은 A′이 원 C₁′ 위, B′이 원 C₂′ 위를 움직일 때 A′B′의 최솟값입니다. 두 원이 서로 떨어져 있다면 그 최솟값은 중심 사이의 거리에서 두 반지름을 뺀 값입니다. 두 중심의 좌표를 정확히 읽고 거리를 계산하세요.
정답 확인
정답 ③ AP+PQ+QB의 최솟값 = 9
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 원을 각각 대칭이동하기
( i ) C₁을 x축에 대하여 — y 대신 −y를 대입하면 C₁′ : (x−8)²+(y+2)²=4, 중심 (8, −2), 반지름 2
( ii ) C₂를 직선 y=x에 대하여 — x 대신 y, y 대신 x를 대입하면 C₂′ : (x+4)²+(y−3)²=4, 중심 (−4, 3), 반지름 2
A를 x축에 대하여 대칭이동한 점 A′은 원 C₁′ 위에 있고, B를 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 점 B′은 원 C₂′ 위에 있습니다.
STEP B꺾인 경로를 직선으로 펴기
대칭이동은 길이를 보존하므로 AP = A′P, QB = QB′입니다. 따라서 AP+PQ+QB = A′P+PQ+QB′이고, 이 합은 네 점이 한 직선 위에 놓일 때 최소가 되므로 A′P+PQ+QB′ ≥ A′B′입니다.
문제는 이제 ‘원 C₁′ 위의 점 A′과 원 C₂′ 위의 점 B′ 사이 거리의 최솟값’으로 완전히 바뀌었습니다.
STEP C두 원 위의 점 사이 최단거리 구하기
두 중심 (8, −2)와 (−4, 3) 사이의 거리는 √((8−(−4))²+((−2)−3)²) = √(144+25) = √169 = 13입니다.
13 > 2+2이므로 두 원은 서로 떨어져 있고, 이때 A′B′의 최솟값은 중심 사이의 거리에서 두 반지름을 뺀 값입니다. 즉 13−2−2 = 9입니다.
따라서 AP+PQ+QB의 최솟값은 9입니다.
1등급 다른 풀이 · 등호가 실제로 성립하는지 확인하기
부등식으로 최솟값을 구하는 문제는 ‘그 값에 실제로 도달할 수 있는가’를 확인해야 완결됩니다. 여기서는 두 중심을 잇는 선분이 x축과 직선 y=x를 실제로 지나야 P와 Q가 존재하기 때문입니다.
두 중심 (8, −2), (−4, 3)을 지나는 직선의 기울기는 (3−(−2))/(−4−8) = −5/12이므로, 직선의 방정식은 y = −(5/12)x + 4/3입니다. 여기서 y=0으로 두면 x = 16/5이므로 P(16/5, 0)이고, y=x로 두면 x = 16/17이므로 Q(16/17, 16/17)입니다.
x좌표를 크기순으로 보면 8 → 16/5 → 16/17 → −4로, A′, P, Q, B′이 이 순서대로 한 직선 위에 놓입니다. 등호가 성립하는 P, Q가 실제로 존재하므로 최솟값 9는 도달 가능한 값입니다. 객관식이라 생략해도 답은 맞지만, 서술형이나 논술형에서는 이 확인이 배점 요소가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 꺾이는 지점이 두 곳이면 대칭이동도 두 번입니다. 한 번만 하면 남은 한 구간이 여전히 꺾여 있어 부등식이 A′B′까지 이어지지 않습니다.
- 어느 점을 어느 직선에 대해 대칭할지 헷갈리지 마세요. P가 x축 위에 있으니 A를 x축에, Q가 y=x 위에 있으니 B를 y=x에 대칭시킵니다. 가운데 구간 PQ는 손대지 않습니다.
- 직선 y=x에 대한 대칭은 x좌표와 y좌표를 맞바꾸는 것입니다. 중심 (3, −4)는 (−4, 3)이 됩니다. 부호만 바꾸는 x축·y축 대칭과 섞이지 않도록 주의하세요.
- A, B가 움직이는 점임을 놓치면 중심 사이의 거리 13을 그대로 답하게 됩니다. 반지름 2를 두 번 빼야 합니다.
- 반지름을 빼는 공식은 두 원이 떨어져 있을 때만 유효합니다. 중심거리 13이 두 반지름의 합 4보다 큰지 먼저 확인하는 습관을 들이세요. 만약 두 원이 겹친다면 최솟값은 0이 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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