행복한 일등급문제
최다빈출 · 왕중요
평행이동과 대칭이동
원의 접선
삼각형 넓이의 최대
출제의도
이 문항은 점 하나를 따라가는 문제가 아니라 도형 전체를 이동시키는 문제입니다. 점 P가 원 위를 움직이므로 P에 두 번의 이동을 적용한 Q도 어떤 원 위를 움직입니다. 그 원의 방정식을 먼저 확정하지 않으면 ‘넓이가 최대’라는 조건을 걸 대상 자체가 없습니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 세 개의 관문이 순서대로 놓여 있기 때문입니다. 첫째, 평행이동과 대칭이동을 원의 방정식에 정확히 적용해 Q의 자취를 얻어야 합니다. 둘째, 밑변 AB가 고정임을 알아채고 넓이 최대를 높이 최대로 바꿔야 합니다. 셋째, 마지막에 Q를 다시 P로 되돌려 놓아야 합니다. 특히 세 번째를 잊고 Q의 좌표로 답하면, 계산을 전부 맞히고도 오답이 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
P를 문자로 잡고 좌표를 계산하려 하면 식이 복잡해집니다. 대신 원 x²+(y−1)²=9 자체를 y축의 방향으로 −1만큼 평행이동한 뒤 y축에 대하여 대칭이동해 보세요. 그 결과로 나오는 원이 곧 점 Q가 움직이는 자취입니다.
자취를 얻고 나면 문제는 ‘어떤 원 위의 점 Q에 대해 삼각형 ABQ의 넓이가 최대가 되는 위치를 찾아라’로 단순해집니다. 이때 A와 B는 고정된 점이라는 사실에 주목하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
밑변 AB의 길이는 Q와 무관하게 일정하므로, 넓이가 최대가 되려면 Q에서 직선 AB까지의 거리가 최대여야 합니다. 원 위의 점 중 한 직선까지의 거리가 최대인 점은, 그 직선과 평행한 두 접선의 접점 가운데 직선에서 먼 쪽입니다.
직선 AB의 기울기를 구한 뒤 같은 기울기로 원에 접하는 접선 두 개를 구하고, 그림에서 삼각형이 커지는 쪽(제2사분면 방향)의 접선을 고르세요. 접점 Q를 구했다면 마지막으로 Q에서 P로 되돌아가는 역이동을 반드시 수행해야 합니다. 문제가 묻는 것은 P의 y좌표입니다.
정답 확인
정답 ① 점 P의 y좌표 = 52
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점 Q가 움직이는 원 구하기
원 x²+(y−1)²=9를 y축의 방향으로 −1만큼 평행이동하면 x²+y²=9입니다. 이를 다시 y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 −x를 대입하여 (−x)²+y²=9, 즉 x²+y²=9가 됩니다.
y축 대칭에도 모양이 그대로인 이유는 이 원의 중심이 이미 y축 위(원점)에 있기 때문입니다. 결국 점 Q는 원점 중심, 반지름 3인 원 위를 움직입니다.
STEP B넓이 최대 조건을 높이 최대로 바꾸기
A(1, −√3), B(3, √3)에서 AB = √((3−1)²+(√3+√3)²) = √(4+12) = 4로 일정합니다. 따라서 삼각형 ABQ의 넓이가 최대이려면 Q에서 직선 AB까지의 거리, 즉 높이가 최대여야 합니다.
기하적 판단 — 원 위의 점에서 한 직선까지의 거리는, 그 직선과 평행한 접선의 접점에서 최대가 됩니다. 접선은 두 개이므로 그림에서 AB로부터 더 멀리 떨어진 쪽, 즉 제2사분면 쪽 접점을 골라야 합니다.
STEP C접점 Q를 구하고 P로 되돌리기
직선 AB의 기울기는 (√3−(−√3))/(3−1) = √3입니다. 기울기가 √3이고 원 x²+y²=9에 접하는 접선은 y = √3x ± 3√(3+1), 즉 y = √3x ± 6이고, 이 중 제2사분면 쪽은 y = √3x + 6입니다.
x²+(√3x+6)²=9에서 4x²+12√3x+27=0, 즉 (2x+3√3)²=0이므로 x = −3√3/2이고 y = 3/2입니다. 따라서 Q(−3√3/2, 3/2)입니다.
이제 역이동입니다. Q는 P를 y축 방향으로 −1만큼 옮긴 뒤 y축 대칭한 점이므로, Q를 y축에 대하여 대칭이동하면 (3√3/2, 3/2)이고 여기에 y좌표를 1만큼 더하면 P(3√3/2, 5/2)입니다. 그러므로 점 P의 y좌표는 5/2입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선 공식 없이 중심에서 수선 긋기
접선의 방정식 공식이 떠오르지 않아도 접점은 구할 수 있습니다. 원에서 한 직선까지 거리가 최대인 점은 중심에서 그 직선에 수직으로 그은 직선과 원의 교점 중 먼 쪽이기 때문입니다.
직선 AB의 기울기가 √3이므로 수직인 직선의 기울기는 −1/√3이고, 원의 중심 (0, 0)을 지나므로 y = −x/√3입니다. 이를 x²+y²=9에 대입하면 x² + x²/3 = 9에서 (4/3)x² = 9, 즉 x = ±3√3/2입니다. 제2사분면의 점을 택하면 x = −3√3/2, y = 3/2으로 앞의 결과와 정확히 일치합니다.
이 관점의 장점은 최대 넓이까지 바로 보인다는 점입니다. 직선 AB는 y = √3x − 2√3이므로 원점에서의 거리는 |−2√3|/√(3+1) = √3이고, 최대 높이는 여기에 반지름 3을 더한 3+√3입니다. 따라서 최대 넓이는 (1/2)·4·(3+√3) = 6+2√3입니다. 넓이를 묻는 변형 문제가 나와도 그대로 대응할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 이동은 점이 아니라 원의 방정식에 적용하세요. 평행이동은 y 대신 y+1, y축 대칭은 x 대신 −x를 넣는 기계적인 작업입니다. P를 (a, b)로 놓고 따라가면 식이 불필요하게 길어집니다.
- AB의 길이가 Q와 무관하게 4로 고정이라는 점을 먼저 확인하세요. 이 확인이 있어야 ‘넓이 최대 = 높이 최대’라는 전환이 정당해집니다.
- 접선 두 개 중 어느 쪽인지 반드시 그림으로 판단하세요. y = √3x − 6을 택하면 접점이 제4사분면 쪽이 되어 높이가 오히려 최소가 됩니다.
- 가장 흔한 실수는 Q의 y좌표 3/2으로 답을 마무리하는 것입니다. 문제가 묻는 것은 P의 y좌표이므로 반드시 역이동을 거쳐야 합니다.
- 역이동의 순서에 주의하세요. P → (y축 방향 −1 평행이동) → (y축 대칭) → Q의 역순은 Q → (y축 대칭) → (y축 방향 +1 평행이동) → P입니다. 다행히 y축 대칭은 y좌표를 바꾸지 않으므로, y좌표만 필요하다면 3/2 + 1 = 5/2로 끝납니다.
엄선된 풀이 영상
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