TOUGH
2020년 11월 고1 학력평가 14번
점의 대칭이동
최단거리
수선의 발
두 점 사이의 거리
출제의도
이 문항은 x축에 대한 대칭이동으로 꺾인 경로를 펴는 최단거리 유형입니다. 다만 교과서 기본형과 결정적으로 다른 점이 하나 있습니다. 보통은 움직이는 점이 하나뿐인데, 여기서는 직선 l 위의 점 B와 x축 위의 점 C가 동시에 움직입니다. 그래서 대칭이동 한 번으로 끝나지 않고, 최소화를 두 번 겹쳐서 해야 합니다.
순서를 정확히 잡는 것이 이 문제의 전부입니다. 먼저 C를 움직여 AC+BC를 A′B로 바꾸고, 그다음 B를 움직여 A′B 자체를 가장 짧게 만듭니다. 두 번째 단계에서 점과 직선 사이의 최단거리는 수선의 발이라는 사실이 등장하고, 여기서 수직 조건이 자연스럽게 딸려 나옵니다. 또 마지막에 묻는 것이 최솟값이 아니라 a²+b², 즉 점 B의 좌표라는 점도 놓치기 쉬운 함정입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 C가 x축 위를 움직인다는 조건에 주목하세요. 경로 A → C → B에서 꺾이는 지점이 x축 위에 있으므로, 고정된 점 A를 x축에 대하여 대칭이동합니다. A(0, 1)의 대칭점은 y좌표의 부호만 바뀐 A′(0, −1)입니다.
이때 AC=A′C이므로 AC+BC=A′C+CB가 되고, 이 값은 A′와 B를 잇는 직선 거리 A′B보다 작아질 수 없습니다. 즉 C가 선분 A′B 위에 놓일 때 최소가 됩니다. 여기서 한 걸음 더 나아가세요. B도 직선 l 위를 움직이므로, 남은 질문은 “A′B를 가장 짧게 만드는 B는 어디인가?”입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
점 A′에서 직선 l까지의 거리가 최소가 되는 점 B는 A′에서 l에 내린 수선의 발입니다. 직선 l의 기울기가 −1이므로, 수직인 직선 A′B의 기울기는 1입니다. 점 A′(0, −1)을 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식을 세우세요.
그다음 이 직선과 l : y=−x+2를 연립하면 점 B의 좌표가 바로 나옵니다. 문제가 묻는 것은 B의 좌표 (a, b)에 대한 a²+b²이므로, 최솟값 A′B를 구할 필요는 없습니다. 좌표를 구했다면 제곱해서 더하기만 하면 끝입니다.
정답 확인
정답 ⑤ a²+b² = 52
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A대칭이동으로 꺾인 경로를 직선으로 펴기
점 A(0, 1)을 x축에 대하여 대칭이동한 점을 A′이라 하면 A′(0, −1)입니다. 점 C가 x축 위의 점이므로 AC=A′C이고, 따라서
AC+BC = A′C+BC ≥ A′B
가 성립합니다. 등호는 점 C가 두 점 A′, B를 지나는 직선 위에 있을 때 성립하므로, AC+BC의 최솟값은 선분 A′B의 길이와 같습니다.
STEP BA′B가 최소가 되는 점 B는 수선의 발
점 B는 직선 l 위를 움직이므로, A′B가 최소가 되려면 B는 점 A′에서 직선 l에 내린 수선의 발이어야 합니다. 직선 l : y=−x+2의 기울기가 −1이고 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 −1이므로, 직선 A′B의 기울기는 1입니다.
점 A′(0, −1)을 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은 y = x − 1입니다.
STEP C연립하여 점 B의 좌표와 a²+b² 구하기
두 직선 y=−x+2, y=x−1을 연립하면 −x+2=x−1에서 2x=3, 즉 x=32이고 y=12입니다.
점 B의 좌표 — B(32, 12)이므로 a=32, b=12입니다. 두 값 모두 양수이므로 제1사분면이라는 조건도 만족합니다.
따라서 a²+b² = (3/2)² + (1/2)² = 94 + 14 = 52입니다.
1등급 다른 풀이 · 이차함수의 최솟값으로 밀어붙이기
수선의 발이라는 기하적 성질이 곧바로 떠오르지 않는다면, 점 B를 문자로 놓고 이차함수로 처리해도 됩니다. 점 B는 직선 l : y=−x+2 위의 점이므로 B(a, −a+2)로 둘 수 있고, 제1사분면 조건에서 a>0이고 −a+2>0이므로 0<a<2입니다.
A′B가 최소일 때 A′B²도 최소이므로 제곱한 식을 다룹니다. A′(0, −1)과 B(a, −a+2) 사이의 거리를 제곱하면
A′B² = a² + (−a+3)² = 2a² − 6a + 9 = 2(a − 32)² + 92
이고, 0<a<2 안에 꼭짓점이 들어 있으므로 a=3/2일 때 최소입니다. 이때 b=−a+2=1/2이므로 앞의 결과와 정확히 일치합니다.
한 가지 검산 포인트가 있습니다. 최솟값 자체는 점 A′(0, −1)과 직선 x+y−2=0 사이의 거리로도 구할 수 있어 |0−1−2|/√2 = 3/√2, 제곱하면 9/2입니다. 위 이차함수의 최솟값 9/2와 딱 맞아떨어지므로, 좌표를 잘못 구하지 않았는지 30초 만에 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 대칭이동시킬 점은 움직이지 않는 점입니다. 이 문제에서 A는 고정, B와 C는 이동이므로 A를 x축에 대해 대칭이동합니다. 움직이는 B를 대칭이동하면 식에 문자가 남아 최단거리 논리가 무너집니다.
- 대칭이동의 기준은 꺾이는 점이 놓인 직선입니다. C가 x축 위에 있으므로 x축 대칭, 즉 y좌표의 부호만 바꿉니다. 문제 그림에 y축이 보인다고 습관적으로 y축 대칭을 쓰지 마세요.
- 최소화가 두 번 일어난다는 점을 놓치면 답이 나오지 않습니다. 1단계는 C를 움직여 A′B로 바꾸는 것, 2단계는 B를 움직여 A′B를 짧게 만드는 것입니다. 2단계에서 수직 조건이 나옵니다.
- 묻는 것은 최솟값 3√2/2가 아니라 a²+b²입니다. 최솟값을 구해 놓고 선택지에서 헤매는 경우가 실제로 많습니다. 구해야 할 대상을 문제 옆에 적어두고 시작하세요.
- 연립할 때 부호를 조심하세요. −x+2 = x−1에서 2x=3이지, x=1이 아닙니다. 이 한 줄에서 틀리면 ③ 3/2 같은 매력적인 오답으로 그대로 빠집니다.
엄선된 풀이 영상
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