TOUGH
최다빈출 · 왕중요 문항
점에 대한 대칭이동
포물선과 직선의 교점
근과 계수의 관계
원점 대칭
출제의도
이 문항은 점에 대한 대칭이동과 이차방정식의 근과 계수의 관계를 한 문제 안에서 이어 붙인 복합 문항입니다. 포물선 y=x²+kx를 점 (2, 3)에 대하여 대칭이동한 다음, 그 포물선이 직선 y=2x−5와 만나는 두 점이 원점에 대하여 대칭이 되도록 하는 k를 찾는 구조입니다.
TOUGH로 분류된 이유는 계산량이 아니라 조건을 식으로 번역하는 단계가 두 번 있기 때문입니다. 첫째, ‘점 (2, 3)에 대한 대칭’을 중점 조건으로 바꿔야 하고, 둘째, ‘두 교점이 원점에 대하여 대칭’을 두 근의 합이 0이라는 이차방정식의 언어로 바꿔야 합니다. 두 번째 번역을 하지 못하면 교점의 좌표를 실제로 구하려다 근의 공식 속에서 길을 잃게 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 (2, 3)에 대한 대칭이동의 정체부터 확인하세요. 어떤 점 P(a, b)와 그 대칭점 Q(x, y)는 (2, 3)을 중점으로 갖습니다. 즉 (a+x)/2=2, (b+y)/2=3이므로 a+x=4, b+y=6입니다. 여기서 a=4−x, b=6−y를 얻고, 이것을 원래 곡선의 식에 대입하는 것이 도형의 대칭이동입니다.
포인트는 대입 방향입니다. 옮기고 싶은 것은 포물선 위의 점 P이므로, P의 좌표 (a, b)를 새 좌표 (x, y)로 바꿔 쓴 뒤 y=x²+kx에 넣어야 합니다. 방향을 반대로 잡으면 부호가 통째로 뒤집힙니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
대칭이동한 포물선을 구했다면 직선 y=2x−5와 연립하여 x에 대한 이차방정식 하나로 정리하세요. 이때 x²의 계수가 −1로 나오므로 양변에 −1을 곱해 x²−(6+k)x+4k+5=0 꼴로 깔끔하게 만드는 것이 좋습니다.
이제 두 교점의 x좌표를 α, β라 두세요. 두 점이 원점에 대하여 대칭이면 한 점의 x좌표가 다른 점의 x좌표에 −1을 곱한 값이므로 α=−β, 즉 α+β=0입니다. 근과 계수의 관계에서 두 근의 합은 x의 계수에 −1을 곱한 값이니, 여기에 0을 대입하면 k가 한 줄에 나옵니다.
정답 확인
정답 ③ k = −6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점 (2, 3)에 대하여 대칭이동한 포물선의 방정식 구하기
포물선 y=x²+kx 위의 점을 P(a, b)라 하면 b=a²+ka입니다. 점 P를 점 (2, 3)에 대하여 대칭이동한 점을 Q(x, y)라 하면 두 점의 중점이 (2, 3)이므로 a+x=4, b+y=6, 즉 a=−x+4, b=−y+6입니다.
이를 b=a²+ka에 대입하면 −y+6=(−x+4)²+k(−x+4)이고, 정리하면
y = −x² + (8+k)x − 4k − 10
이 됩니다. x²의 계수가 −1이 되어 포물선이 위아래로 뒤집힌다는 점을 눈으로 확인해 두세요.
STEP B두 교점이 원점 대칭임을 이용하여 k 구하기
포물선 y=−x²+(8+k)x−4k−10과 직선 y=2x−5를 연립하면
−x²+(8+k)x−4k−10 = 2x−5 → x² − (6+k)x + 4k + 5 = 0
두 교점의 x좌표를 α, β라 하면 두 점이 원점에 대하여 대칭이므로 α=−β, 즉 α+β=0입니다. 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 6+k이므로
6 + k = 0 → k = −6
확인해 보면 k=−6일 때 방정식은 x²−19=0이 되어 x=±√19, 실제로 서로 다른 두 점에서 만나고 x좌표의 부호가 반대입니다.
1등급 다른 풀이 · 포물선 대신 ‘직선’을 옮기기
대칭이동은 양쪽 도형 중 어느 쪽을 옮겨도 교점의 개수와 대응 관계가 유지됩니다. 포물선을 옮겨 직선과 만나게 하는 대신, 직선을 반대로 옮겨 원래 포물선과 만나게 하면 계산이 훨씬 가벼워집니다. 이차식보다 일차식을 옮기는 쪽이 당연히 쉽기 때문입니다.
직선 y=2x−5를 점 (2, 3)에 대하여 대칭이동하려면 x 대신 4−x, y 대신 6−y를 넣으면 됩니다. 6−y=2(4−x)−5에서 y=2x+3입니다. 이 직선과 원래 포물선 y=x²+kx의 교점을 구하면
x² + kx = 2x + 3 → x² + (k−2)x − 3 = 0
연결고리 — 이 방정식의 두 근은 문제에서 말한 두 교점을 다시 (2, 3)에 대하여 되돌린 점의 x좌표입니다. 원래 두 교점의 x좌표 합이 0이므로, 되돌린 두 점의 x좌표 합은 4+4−0=8이 됩니다.
근과 계수의 관계에서 두 근의 합은 2−k이므로 2−k=8, 따라서 k=−6입니다. 이차식을 전개하고 정리하는 STEP A 전체가 한 줄짜리 직선 대입으로 압축됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 점 (p, q)에 대한 대칭이동은 x 대신 2p−x, y 대신 2q−y입니다. 이 문항에서는 4−x, 6−y이지요. x축·y축 대칭의 −x, −y와 헷갈려 그냥 −x, −y를 넣는 실수가 가장 흔합니다.
- (−x+4)²을 전개할 때 x²−8x+16이 됩니다. 앞의 부호에 이끌려 −x²로 쓰기 쉬우니 괄호를 살려 두고 전개하세요.
- 연립한 뒤에는 반드시 x²의 계수를 양수로 고쳐 놓고 근과 계수의 관계를 쓰세요. −x²+…=0 상태에서 ‘두 근의 합=계수’를 적용하면 부호가 통째로 뒤집힙니다.
- ‘원점에 대하여 대칭’은 두 근을 구하라는 뜻이 아니라 두 근의 합이 0이라는 뜻입니다. 근의 공식을 꺼내는 순간 이 문제는 계산 문제가 되어 버립니다.
- 구한 k에 대해 판별식이 양수인지 한 번 확인하세요. 두 점에서 만난다는 전제가 깨지면 답이 될 수 없습니다. 여기서는 D=0²−4·(−19)=76>0이므로 문제없습니다.
엄선된 풀이 영상
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