TOUGH
2014년 11월 고1 학력평가 19번
원의 대칭이동
원의 평행이동
두 원의 공통현
중심 사이의 거리
출제의도
이 문항은 원 O₁을 직선 y=x에 대하여 대칭이동한 뒤 y축 방향으로 a만큼 평행이동해 원 O₂를 만들고, 두 원이 만나서 생기는 공통현 AB의 길이가 2√3이라는 조건에서 a를 되찾아오는 문제입니다. 도형의 이동 단원에 배치되어 있지만, 실제 승부처는 이동이 아니라 두 원의 위치 관계입니다.
이동 부분은 준비운동에 가깝습니다. y=x 대칭은 좌표를 서로 바꾸는 것이고 평행이동은 중심만 옮기며, 반지름은 두 번 모두 그대로 2입니다. 진짜 문제는 그다음입니다. 보통은 두 원이 주어지고 공통현의 길이를 구하지만, 이 문항은 공통현 길이를 먼저 주고 중심 사이의 거리를 역산하게 만듭니다. 방향이 뒤집힌 순간 ‘두 교점을 잇는 선분은 두 중심을 잇는 선분에 의해 수직이등분된다’는 성질을 스스로 꺼내 쓸 수 있어야 합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 원 O₂의 중심과 반지름을 확정하세요. 원을 통째로 옮기는 문제에서는 중심의 좌표만 추적하면 됩니다. 대칭이동과 평행이동은 도형의 크기를 바꾸지 않으므로 반지름은 처음부터 끝까지 2입니다.
중심 (4, 2)를 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x좌표와 y좌표가 자리를 바꿉니다. 그 결과를 다시 y축 방향으로 a만큼 올리면 O₂의 중심이 나옵니다. 여기까지 오면 미지수는 a 하나뿐이고, 문제는 “두 중심 사이의 거리가 얼마여야 하는가”로 완전히 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 원의 중심을 C, D라 하고 공통현 AB와 선분 CD가 만나는 점을 H라 하세요. 선분 AB는 선분 CD에 의해 수직이등분되므로 AH=√3입니다. 삼각형 ACH는 H가 직각인 직각삼각형이고 빗변 AC는 반지름 2이므로 CH가 피타고라스 정리로 곧바로 나옵니다.
같은 계산을 삼각형 ADH에도 하면 DH가 나오는데, 두 원의 반지름이 같으므로 CH와 DH의 값도 같습니다. 이제 CD가 두 값의 합인지 차인지만 판정하면 됩니다. 두 원이 서로 다른 두 점에서 만난다는 조건이 이 판정을 대신 해 줍니다. CD의 값이 정해지면 두 중심의 좌표로 거리 식을 세워 a를 구하세요.
정답 확인
정답 ② a = −2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 원의 중심과 반지름 구하기
원 O₁의 중심은 (4, 2), 반지름은 2입니다. 이 원을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면 x좌표와 y좌표가 서로 바뀌므로 중심은 (2, 4)가 됩니다. 이 원을 다시 y축 방향으로 a만큼 평행이동한 원이 O₂이므로, O₂의 중심은 (2, a+4)이고 반지름은 여전히 2입니다.
이제 두 중심을 C(4, 2), D(2, a+4)라 두면 남은 미지수는 a 하나뿐입니다.
STEP B공통현 AB의 성질로 CH, DH 구하기
두 원의 교점 A, B에 대하여 선분 AB는 선분 CD에 의하여 수직이등분됩니다. 두 선분이 만나는 점을 H라 하면
AH = BH = ½ × AB = ½ × 2√3 = √3
원 O₁ 쪽 — AC는 반지름이므로 AC=2입니다. 직각삼각형 ACH에서 CH = √(AC² − AH²) = √(4 − 3) = 1입니다.
원 O₂ 쪽 — AD도 반지름이므로 AD=2입니다. 같은 방식으로 DH = √(AD² − AH²) = 1입니다.
CH=DH=1이므로 CD의 값은 1+1=2 또는 |1−1|=0 두 가지뿐입니다. CD=0이면 두 원의 중심이 일치하고 반지름도 같아 두 원이 완전히 포개어지므로, ‘서로 다른 두 점에서 만난다’는 조건에 어긋납니다. 따라서 CD = 2입니다.
STEP C중심 사이의 거리로 a의 값 구하기
두 점 C(4, 2), D(2, a+4) 사이의 거리가 2이므로
CD = √((4−2)² + (2−a−4)²) = 2
양변을 제곱하면 4 + (a+2)² = 4, 즉 (a+2)² = 0입니다. 따라서 a = −2이고, 이때 O₂의 중심은 (2, 2)가 되어 두 원은 서로의 중심을 지나는 위치가 됩니다.
1등급 다른 풀이 · 계산 없이 a를 읽어내기
이 문항은 두 원의 반지름이 같다는 점을 쓰면 마지막 계산까지 사라집니다. 반지름이 같으면 CH=DH이므로 점 H는 선분 CD의 중점이 됩니다. 즉 반지름 r, 공통현 길이 2ℓ, 중심거리 d 사이에 항상
(d/2)² + ℓ² = r²
이 성립합니다. 여기에 r=2, ℓ=√3을 넣으면 (d/2)²=1에서 d=2가 한 줄에 나옵니다.
더 나아가 두 중심 C(4, 2), D(2, a+4)는 x좌표 차이가 이미 2입니다. 그런데 중심거리도 2여야 하므로 y좌표 차이는 0일 수밖에 없습니다. 따라서 a+4=2에서 곧바로 a=−2입니다. 제곱·전개 없이 “가로로 이미 2를 다 썼으니 세로는 0″이라는 한 문장으로 끝나는 셈입니다.
실수를 줄이는 전략
- 직선 y=x에 대한 대칭이동은 x좌표와 y좌표를 맞바꾸는 것입니다. (4, 2)는 (2, 4)가 됩니다. 부호를 바꾸는 x축·y축 대칭과 헷갈리면 이후 계산이 전부 어긋납니다.
- 대칭이동과 평행이동은 반지름을 바꾸지 않습니다. 원 문제에서는 중심의 좌표만 추적하면 되므로, 원의 방정식을 매번 전개해 다시 쓰지 마세요.
- 공통현의 절반은 √3이지 2√3이 아닙니다. AB를 이등분한 값을 직각삼각형에 넣어야 하는데, 2√3을 그대로 대입하는 실수가 이 유형에서 가장 흔합니다.
- CH와 DH를 구한 뒤 CD가 합인지 차인지 반드시 판정하세요. 두 원의 중심이 공통현의 같은 쪽에 있으면 차, 반대쪽에 있으면 합입니다. 이 문항은 ‘서로 다른 두 점에서 만난다’가 차(=0)를 걸러 줍니다.
- (a+2)²=0은 중근이므로 답이 하나뿐입니다. 습관적으로 a+2=±0처럼 두 개를 적어 두면 선택지에서 −2가 아닌 값을 고르게 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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