TOUGH
x축에 대한 대칭이동
직선의 평행이동
원의 넓이 이등분
두 점을 지나는 직선
출제의도
앞의 유형이 “직선을 이동시켜 조건에 맞추는” 문제였다면, 이 문항은 이동이 끝난 결과가 y=−3x라고 먼저 알려주고 이동 전의 원 두 개에 숨은 상수 a, b를 되찾게 합니다. 방향이 거꾸로라는 점이 이 문제의 전부입니다.
정공법으로 가면 두 중심 (3, a), (b, −2)를 지나는 직선을 세워야 하는데, 기울기가 (−2−a)/(b−3)이라 분수 안에 미지수가 두 개 들어앉습니다. 이 상태로 대칭이동과 평행이동을 두 번 더 거치고 계수를 비교하는 것이 TOUGH로 분류된 이유입니다. 계산을 견디는 힘과, 그 계산을 피해 가는 눈을 같이 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 원의 넓이를 모두 이등분하는 직선은 두 원의 중심을 모두 지나는 직선입니다. 원 (x−3)²+(y−a)²=9의 중심은 (3, a), 원 (x−b)²+(y+2)²=4의 중심은 (b, −2)이므로, 우리가 다룰 직선 l은 이 두 점을 지나는 직선으로 유일하게 결정됩니다. 반지름 3과 2는 답에 전혀 관여하지 않는 장식입니다.
단서 a≠−2, b≠3도 그냥 붙은 게 아닙니다. b=3이면 두 중심의 x좌표가 같아 직선이 y축에 평행해져 기울기를 쓸 수 없고, a=−2이면 두 중심의 y좌표가 같아 직선이 x축에 평행해집니다. 어느 쪽도 y=−3x와 겹칠 수 없으므로, 이 조건은 “기울기가 존재하고 0이 아니다”를 보장해 주는 안전장치입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 점 (3, a), (b, −2)를 지나는 직선을 y−a = −2−ab−3(x−3) 꼴로 세우고, x축 대칭(y 대신 −y), 이어서 x축 −1·y축 +2 평행이동(x 대신 x+1, y 대신 y−2)을 차례로 적용하세요. 결과가 y=−3x와 일치하므로, 두 직선의 기울기끼리·상수항끼리 같다는 두 식을 얻습니다.
이때 기울기 조건을 먼저 확정하는 것이 요령입니다. 기울기가 −3임을 알고 나면 상수항 식에 들어 있는 분수 덩어리가 통째로 숫자로 바뀌어, 이차방정식을 풀 필요 없이 a가 바로 나옵니다.
정답 확인
정답 ab = −83
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 중심을 지나는 직선 l 세우기
두 원의 중심 (3, a), (b, −2)를 지나는 직선이므로
y = −a+2b−3x + 3(a+2)b−3 + a
입니다. 기울기 (−2−a)/(b−3)의 분자를 −(a+2)로 묶어 두면 이후 계산에서 (a+2)/(b−3)이라는 하나의 덩어리로 계속 재사용할 수 있습니다.
STEP Bx축 대칭이동 후 평행이동하기
x축에 대한 대칭이동은 y 대신 −y를 대입하는 것이므로 부호가 모두 뒤집혀
y = a+2b−3x − 3(a+2)b−3 − a
가 됩니다. 이어서 x축으로 −1, y축으로 2만큼 평행이동하면 x 대신 x+1, y 대신 y−2를 대입하게 되고, 정리하면
y = a+2b−3x − 2(a+2)b−3 − a + 2
입니다. 분수의 계수가 3(a+2)/(b−3)에서 2(a+2)/(b−3)으로 줄어든 것은 x 대신 x+1을 넣으며 (a+2)/(b−3)만큼이 상쇄되었기 때문입니다.
STEP Cy=−3x와 일치시켜 a, b 구하기
두 직선이 일치하려면 기울기와 상수항이 각각 같아야 합니다.
기울기 조건 — a+2b−3 = −3이므로 a+2 = −3(b−3), 즉 a+3b=7입니다.
상수항 조건 — −2(a+2)b−3 − a + 2 = 0입니다. 여기에 기울기 조건에서 얻은 (a+2)/(b−3)=−3을 그대로 대입하면 −2×(−3) − a + 2 = 0, 즉 8−a=0이므로 a=8이 한 줄로 나옵니다.
a=8을 a+3b=7에 넣으면 3b=−1이므로 b=−1/3이고, b≠3이라는 단서와도 어긋나지 않습니다. 해설 이미지처럼 두 식을 그대로 연립하면 3b²−8b−3=0이라는 이차방정식을 거쳐 (3b+1)(b−3)=0에서 같은 답에 도달하는데, 이때 걸러지는 b=3이 바로 문제가 미리 배제해 둔 값입니다.
STEP Dab의 값 계산
a=8, b=−1/3이므로 ab = 8 × (−13) = −83입니다.
1등급 다른 풀이 · 직선 대신 ‘점’을 이동시키기
직선을 통째로 이동시키면 미지수가 든 분수를 계속 끌고 가야 합니다. 하지만 이동은 도형 위의 점을 옮기는 규칙이므로, 직선 위의 특정한 점만 옮겨도 결과는 같습니다. 우리가 아는 점은 두 중심 (3, a), (b, −2)입니다.
두 점을 x축에 대하여 대칭이동하면 (3, −a), (b, 2)이고, 다시 x축으로 −1, y축으로 2만큼 평행이동하면 (2, −a+2), (b−1, 4)입니다. 이동이 끝난 직선이 y=−3x이므로 두 점은 모두 이 직선 위에 있어야 합니다. −a+2 = −3×2에서 a=8, 4 = −3(b−1)에서 b=−1/3이 각각 독립적으로 나옵니다. 연립도, 분수도 등장하지 않습니다.
방향을 아예 되돌리는 풀이도 있습니다. y=−3x를 x축으로 1만큼, y축으로 −2만큼 평행이동하면 y+2=−3(x−1), 즉 y=−3x+1이고, 이를 x축에 대하여 대칭이동하면 y=3x−1입니다. 이 직선이 곧 두 원의 중심을 지나는 원래의 직선이므로 (3, a)를 대입해 a=3×3−1=8, (b, −2)를 대입해 −2=3b−1에서 b=−1/3을 얻습니다. 이동은 되돌릴 수 있다는 성질을 쓰면 미지수가 식에 들어가기 전에 직선을 먼저 확정할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 이 문제에서 반지름 9와 4는 쓰이지 않습니다. 넓이 이등분 조건은 중심만 요구하므로, 반지름을 어떻게 활용할지 고민하는 순간 시간이 새어 나갑니다.
- 이동을 거꾸로 적용하지 마세요. 문제의 순서는 대칭이동 → 평행이동입니다. 되돌리는 풀이를 쓸 때는 순서까지 뒤집어야 하므로, 평행이동을 먼저 되돌린 뒤 대칭이동을 되돌립니다.
- 평행이동의 부호가 두 번 헷갈리는 지점입니다. x축으로 −1이면 x 대신 x−(−1)=x+1, y축으로 +2면 y 대신 y−2입니다.
- 상수항 식을 전개하기 전에 기울기 조건을 먼저 대입하세요. (a+2)/(b−3)=−3을 넣으면 8−a=0으로 끝나는 계산을, 그냥 전개하면 이차방정식까지 가야 합니다.
- 이차방정식으로 풀었다면 b=3을 반드시 버려야 합니다. 문제의 b≠3은 힌트가 아니라 걸러내야 할 근이 있다는 예고입니다.
- 답은 ab이지 a+b가 아닙니다. a=8, b=−1/3을 구해 놓고 마지막에 다른 식을 계산하는 실수가 의외로 잦습니다.
엄선된 풀이 영상
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