TOUGH
최다빈출 · 왕중요 문항
원의 평행이동
두 원의 교점
공통현의 길이
현의 수직이등분
출제의도
반지름이 2로 같은 두 원을 놓고, 두 원이 만나서 생기는 공통현 AB의 길이가 2일 때 평행이동한 양 a를 되찾는 문항입니다. 평행이동 자체는 x 대신 x−2, y 대신 y−a를 넣는 기계적인 작업이지만, 그 뒤에 이어지는 현과 중심 사이의 관계를 어떻게 쓰느냐에서 풀이 시간이 두 배 이상 갈립니다.
두 원의 교점을 실제로 연립해서 구하려 들면 a가 섞인 무리식이 쏟아져 나옵니다. 이 문항이 최다빈출·왕중요로 분류된 이유는 “중심에서 현에 내린 수선의 발은 현을 수직이등분한다”는 중학교 원 성질 한 줄로 좌표계산을 통째로 우회할 수 있다는 것을 확인시키려는 데 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 평행이동한 원의 방정식을 세우세요. x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 a만큼 옮기는 것이므로 x 대신 x−2, y 대신 y−a를 대입합니다. 원래 원의 중심이 (−1, 2)였다면 옮긴 원의 중심은 (1, a+2)이고, 반지름은 둘 다 2로 그대로입니다.
여기서 놓치면 안 되는 것이 반지름이 같다는 사실입니다. 반지름이 같은 두 원이 만나면 그림은 좌우 대칭이 되고, 공통현 AB는 두 중심을 잇는 선분 CC′을 수직이등분합니다. 즉 AB와 CC′의 교점 H는 AB의 중점이면서 동시에 CC′의 중점입니다. 그러면 구해야 할 것은 결국 두 중심 사이의 거리 하나로 줄어듭니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
AB=2이므로 AH=1입니다. 그리고 CA는 원의 반지름이므로 CA=2입니다. 삼각형 CAH는 H에서 직각이므로 피타고라스 정리로 CH를 구할 수 있습니다. 여기까지 오면 a는 아직 한 번도 등장하지 않았다는 점을 확인하세요.
이제 H가 CC′의 중점이라는 사실을 씁니다. CC′=2CH이고, 다른 한편으로 CC′은 두 중심 (−1, 2)와 (1, a+2)의 거리이므로 a를 포함한 식으로도 쓸 수 있습니다. 두 표현을 같다고 놓으면 a에 대한 이차방정식이 나오고, 양수 조건으로 답이 하나로 정해집니다.
정답 확인
정답 ④ a = 2√2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A평행이동한 원의 방정식 구하기
원 (x+1)²+(y−2)²=4를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 a만큼 평행이동하려면 x 대신 x−2, y 대신 y−a를 대입합니다. 그러면
(x−2+1)²+(y−a−2)²=4, 즉 (x−1)²+(y−a−2)²=4
가 됩니다. 두 원의 중심은 각각 C(−1, 2), C′(1, a+2)이고 반지름은 모두 2입니다.
STEP B현의 성질로 두 중심 사이의 거리 구하기
직선 CC′과 현 AB의 교점을 H라 하면, 중심에서 현에 내린 수선의 발은 현을 수직이등분하므로
AH = ½ × AB = 1
직각삼각형 ACH에서 AC=2(반지름), AH=1이므로 피타고라스 정리에 의하여
CH = √(AC²−AH²) = √(2²−1²) = √3
두 원의 반지름이 같아 H는 CC′의 중점이므로 CC′ = 2CH = 2√3입니다.
STEP C거리 조건으로 a 구하기
두 점 C(−1, 2), C′(1, a+2) 사이의 거리를 좌표로 계산하면
CC′ = √{(1−(−1))² + (a+2−2)²} = √(4+a²)
이므로 √(4+a²) = 2√3, 양변을 제곱하면 a²+4=12, a²=8입니다. 따라서 a=2√2 또는 a=−2√2이고, 문제에서 a는 양수이므로 a=2√2입니다.
1등급 다른 풀이 · 공통현의 방정식으로 한 번에
두 원이 만날 때 두 원의 방정식을 변끼리 뺀 식은 공통현이 놓인 직선의 방정식입니다. 두 원을 일반형으로 정리한 뒤 빼면
4x + 2ay + 4 − (a+2)² = 0
이 나옵니다. 이 직선과 중심 C(−1, 2) 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구하면 놀랍게도 √(a²+4)2 로 깔끔하게 정리됩니다. 현의 반이 1, 반지름이 2이므로 이 거리는 √3이어야 하고, 여기서 곧바로 a²+4=12를 얻습니다.
더 빠른 관찰도 있습니다. 반지름이 같은 두 원에서 공통현은 두 중심을 잇는 선분을 수직이등분하므로, 중심에서 공통현까지의 거리는 언제나 중심거리의 절반입니다. 이 사실을 알고 있으면 위의 거리 계산조차 생략하고 CC′/2 = √3을 바로 적을 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 평행이동은 부호를 반대로 대입하는 작업입니다. x축으로 +2 옮기면 x 대신 x−2입니다. (x+1)²에서 (x−1)²로 바뀌는 과정을 손으로 한 번 써보고 넘어가세요.
- CC′=2CH는 두 원의 반지름이 같을 때만 성립합니다. 반지름이 다른 두 원 문제에서 이 식을 그대로 옮겨 쓰면 틀립니다. 이 문항에서는 평행이동만 했으므로 반지름이 보존된다는 점이 근거입니다.
- AB=2를 그대로 삼각형의 변으로 쓰지 마세요. 피타고라스에 들어가는 것은 절반인 AH=1입니다. 현의 길이를 반으로 나누는 것을 잊는 것이 이 유형 최다 실수입니다.
- 중심 C′의 y좌표는 a가 아니라 a+2입니다. 원래 중심의 y좌표 2에 a를 더한 값이므로, CC′을 계산할 때 (a+2)−2=a가 되는 과정을 눈으로 확인하고 넘어가세요.
- a²=8에서 a=±2√2이지만 문제 조건은 양수 a입니다. 선택지에 2√2가 하나뿐이더라도 부호 조건을 확인하는 습관을 들이세요.
내신 연계 확인 문항 · 출제문항 282
같은 구조를 숫자만 바꿔 낸 문항입니다. 위 풀이를 이해했다면 30초 안에 풀려야 합니다.
원 (x+3)²+(y−2)²=25와 이 원을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 원이 만나는 두 점을 각각 A, B라 하면 AB=6이다. 이때 양수 a의 값은?
연계 문항 정답 확인
정답 ④ a = 2√15
중심은 C(−3, 2), C′(−1, a+2)이고 반지름은 5입니다. AH=3이므로 CH=√(5²−3²)=4, CC′=2CH=8입니다. 한편 CC′=√{(−1+3)²+a²}=√(a²+4)이므로 a²+4=64, a²=60에서 a=2√15입니다.
엄선된 풀이 영상
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