행복한 일등급문제
2024년 09월 고1 학력평가 30번
각의 이등분선
이차함수와 직선의 접함
판별식
무게중심
출제의도
30번 자리에 배치된 이유는 계산이 아니라 그래프 개형을 스스로 확정해야 한다는 점에 있습니다. 두 직선에 동시에 접하는 원의 중심이 각의 이등분선 위에 있다는 첫 관문을 통과하면 중심이 놓일 직선 두 개가 나오는데, 문제는 그다음입니다.
중심의 x좌표가 서로 다른 세 개라는 조건은, 이차함수가 한 직선과는 두 점에서 만나고 다른 한 직선과는 접해야 한다는 뜻으로 번역됩니다. 여기에 조건 (가)의 부등호와 조건 (나)의 무게중심 y좌표 부호가 더해져 위로 볼록한 개형 하나만 살아남습니다. 개형을 잘못 잡으면 이후 계산이 아무리 정확해도 답이 나오지 않는, 전형적인 ‘판단이 먼저인’ 최고난도 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
원이 두 직선에 동시에 접한다는 것은 중심에서 두 직선까지의 거리가 같다는 뜻입니다. 즉 원의 중심은 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다.
중심을 P(x, y)로 두고 두 거리를 식으로 놓아 보세요. 절댓값이 붙은 등식이므로 ± 두 경우가 나오고, 이등분선도 두 개(내각·외각)가 나옵니다. 이 두 직선을 먼저 확보하는 것이 출발점입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
세 원의 중심은 모두 y = f(x) 위에 있으면서 동시에 두 이등분선 위에 있습니다. 서로 다른 세 개의 x좌표가 나오려면 포물선이 한 직선과는 서로 다른 두 점에서, 나머지 한 직선과는 접해야 합니다. 조건 (가)의 부등호와 조건 (나)로 위로 볼록임을 확정하면 어느 직선과 접하는지가 정해집니다.
접하는 쪽은 판별식 D = 0으로 a와 b의 관계를 얻고, 그때의 중근이 x₃가 됩니다. 두 점에서 만나는 쪽은 근과 계수의 관계로 x₁+x₂만 있으면 충분합니다. 세 점의 y좌표는 각각 그 점이 놓인 직선의 식에 x를 넣은 값이라는 점에 주의해서 무게중심의 y좌표를 a 하나로 정리해 보세요.
정답 확인
정답 f(4) × f(6) = 144
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A원의 중심이 존재하는 직선 구하기
직선 y = (4/3)x와 x축에 동시에 접하는 원의 중심은 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다. 중심을 P(x, y)라 하면 P에서 4x − 3y = 0까지의 거리와 x축까지의 거리 |y|가 같으므로
|4x − 3y| / √(4²+(−3)²) = |y|, |4x − 3y| = 5|y|, 4x − 3y = ±5y
따라서 중심이 놓이는 직선은 y = (1/2)x 또는 y = −2x 두 개입니다.
STEP B두 조건으로 그래프 개형 확정하기
이차함수 f(x) = a(x−b)²는 x축에 접하는 포물선입니다. 세 원의 중심은 y = f(x) 위에 있으면서 동시에 두 직선 위에 있어야 하는데, 중심의 x좌표가 x₁ < x₂ < x₃로 서로 다른 세 개이므로 포물선은 한 직선과는 서로 다른 두 점에서 만나고 다른 한 직선과는 접해야 합니다.
조건 (가)에서 0 < x₁ < x₂ < x₃ 또는 x₁ < x₂ < 0 < x₃인데, 포물선이 x축에 접하므로 x > 0 영역에서 y = f(x)가 두 직선과 서로 다른 세 교점을 가질 수는 없습니다. 또한 조건 (나)에 의해 f(x)는 위로 볼록하므로 a < 0이고, 결국 x₁ < x₂ < 0 < x₃인 개형만 남습니다.
이 개형에서 포물선은 y = (1/2)x와 두 점에서 만나고 y = −2x와 접합니다. 여기까지가 이 문항의 실제 관문이며, 남은 것은 계산입니다.
STEP C접선 조건과 무게중심으로 a, b 구하기
f(x) = a(x−b)²와 y = −2x가 접하므로 a(x−b)² = −2x, 즉 ax² − 2(ab−1)x + ab² = 0이 중근을 가져야 합니다. D/4 = (ab−1)² − a²b² = −2ab + 1 = 0이므로 b = 1/(2a)이고, 이를 대입하면 (ax + 1/2)² = 0에서 x₃ = −1/(2a), 그때의 y좌표는 f(x₃) = −2x₃ = 1/a입니다.
한편 x₁, x₂는 a(x − 1/(2a))² = (1/2)x, 즉 ax² − (3/2)x + 1/(4a) = 0의 두 근이므로 근과 계수의 관계에서 x₁ + x₂ = 3/(2a)입니다. 이 두 점의 y좌표는 각각 (1/2)x₁, (1/2)x₂입니다.
따라서 세 중심을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 y좌표는
{ (1/2)(x₁+x₂) + 1/a } / 3 = { 3/(4a) + 1/a } / 3 = 7 / (12a)
이고, 조건 (나)에서 7/(12a) = −7/3이므로 a = −1/4, 이를 b = 1/(2a)에 넣으면 b = −2입니다.
STEP Df(4)×f(6)의 값 구하기
f(x) = −(1/4)(x+2)²이므로 f(4) = −(1/4)×36 = −9, f(6) = −(1/4)×64 = −16입니다. 따라서 f(4) × f(6) = (−9) × (−16) = 144입니다.
1등급 다른 풀이 · 교점 공식으로 한 번에 정리하기
STEP C의 두 계산은 사실 같은 식에서 나옵니다. f(x) = a(x−b)²와 기울기가 m인 직선 y = mx의 교점은 ax² − (2ab+m)x + ab² = 0의 근이므로, 근과 계수의 관계에서 두 근의 합은 2b + m/a이고 접하는 경우의 중근은 b + m/(2a)입니다.
이 두 공식을 알고 있으면 m = 1/2일 때 x₁ + x₂ = 2b + 1/(2a), m = −2일 때 x₃ = b − 1/a로 곧바로 적을 수 있습니다. 접하는 조건 D = 0에서 b = 1/(2a)를 얻어 대입하면 x₁+x₂ = 3/(2a), x₃ = −1/(2a)로 위와 같은 결과에 도달합니다.
이 접근의 장점은 이차방정식을 매번 전개하지 않는다는 점입니다. 30번 문항은 시간이 부족한 상태에서 만나기 때문에, 합과 중근을 공식으로 떠올릴 수 있으면 STEP C를 두세 줄로 끝낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 각의 이등분선은 항상 두 개입니다. |4x−3y| = 5|y|에서 ± 두 경우를 모두 처리해야 y = x/2와 y = −2x가 나옵니다. 하나만 구하고 넘어가면 문제 자체가 성립하지 않습니다.
- ‘중심의 x좌표가 세 개’라는 표현을 교점 개수 조건으로 번역하는 것이 이 문제의 핵심입니다. 두 직선과의 교점이 2 + 1(접점)이어야 세 개가 되며, 2 + 2나 1 + 1로는 조건을 만족할 수 없습니다.
- a의 부호를 먼저 확정하세요. 조건 (나)의 무게중심 y좌표가 음수라는 점과 x축에 접한다는 점을 함께 쓰면 a < 0이 나오고, 그제서야 어느 직선과 접하는지가 결정됩니다. 개형을 정하지 않고 계산에 들어가면 부호가 뒤엉킵니다.
- 세 점의 y좌표를 구할 때 각 점이 어느 직선 위에 있는지 구분하세요. (x₁, x₂)에는 1/2을, x₃에는 −2를 곱해야 합니다. 세 점 모두에 같은 기울기를 쓰는 것이 가장 흔한 오답 경로입니다.
- f(x) = a(x−b)² 꼴은 꼭짓점이 (b, 0)이라는 뜻, 즉 x축에 접한다는 조건이 이미 반영된 식입니다. 여기에 x축과의 관계를 다시 세우려 하면 식이 하나 남아돕니다.
- 마지막에 f(4), f(6)을 계산할 때 b = −2이므로 (x+2)²임에 주의하세요. 부호를 놓쳐 (x−2)²로 쓰면 4와 36이 나와 답이 완전히 달라집니다.