행복한 일등급문제
2019년 03월 고2 학력평가 나형 17번
원과 직선의 위치관계
현의 길이
경우 분류
출제의도
조건 (가)와 (나)의 역할이 서로 다르다는 점을 읽어내는 문항입니다. (가) ‘원점을 지난다’는 상수항을 0으로 만드는 조건이므로 a의 후보를 뽑아 주고, (나) ‘직선 y=−2와 서로 다른 두 점에서 만난다’는 그 후보 중 어느 것이 살아남는지를 결정합니다. 조건을 조건답게 순서대로 쓰는 훈련이 그대로 채점 기준이 됩니다.
a²=9에서 a=±3이 나오는데, 여기서 부호 하나를 임의로 골라버리면 운에 답을 맡기는 셈이 됩니다. 일등급 문제로 배치된 이유는 계산이 무거워서가 아니라 두 경우를 모두 검토하고 하나를 근거 있게 버리는 태도를 묻기 때문입니다. 마지막에 구하는 값이 두 교점 사이의 거리, 즉 현의 길이라는 것도 확인해 두세요.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
조건 (가)부터 처리하세요. ‘원점을 지난다’는 곧 x=0, y=0을 대입해도 식이 성립한다는 뜻입니다. 대입하면 a에 대한 아주 단순한 이차방정식 하나가 남고, a의 값이 두 개 나옵니다.
여기서 멈추지 말고 조건 (나)를 ‘아직 쓰지 않은 조건’으로 남겨두세요. 후보가 둘이라면 남은 조건은 그중 하나를 걸러내라는 신호입니다. 각 경우의 원을 완전제곱식으로 고쳐 중심과 반지름을 확인하는 것이 다음 작업입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
a=−3, a=3 각각에 대해 원의 방정식을 (x−p)²+(y−q)²=r² 꼴로 고치세요. 두 경우 모두 중심의 x좌표는 2, 반지름은 같은 값이 나오고 중심의 y좌표만 부호가 반대라는 사실이 보이면 절반은 끝난 것입니다.
만나는지 여부는 두 가지 방법 중 편한 것을 쓰면 됩니다. 원의 식에 y=−2를 대입해 x에 대한 이차방정식이 실근을 갖는지 보거나, 중심에서 직선 y=−2까지의 거리와 반지름을 비교하는 방법입니다. 후자가 훨씬 빠릅니다.
살아남은 경우에서 두 교점의 x좌표를 구해 차를 계산하면 됩니다. 두 점의 y좌표가 모두 −2로 같으므로 거리는 x좌표의 차이 그 자체입니다.
정답 확인
정답 ⑤ 두 점 사이의 거리 = 4√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 a의 값 구하기
원 C : x²+y²−4x−2ay+a²−9=0이 원점을 지나므로 (0, 0)을 대입하면 a²−9=0, 즉 a²=9입니다. 따라서 a=−3 또는 a=3이고, 이 시점에서 원의 후보는 두 개입니다.
STEP B조건 (나)로 두 후보를 검토하기
( i ) a=−3일 때 — 원의 방정식은 x²+y²−4x+6y=0, 즉 (x−2)²+(y+3)²=13입니다. y=−2를 대입하면 (x−2)²+1=13에서 (x−2)²=12이므로 x=2+2√3 또는 x=2−2√3이 되어 서로 다른 두 점에서 만납니다.
( ii ) a=3일 때 — 원의 방정식은 x²+y²−4x−6y=0, 즉 (x−2)²+(y−3)²=13입니다. y=−2를 대입하면 (x−2)²+25=13에서 (x−2)²=−12가 되어 실수 x가 존재하지 않습니다. 즉 직선 y=−2와 만나지 않으므로 이 경우는 제외됩니다.
조건 (나)를 만족시키는 것은 a=−3인 경우뿐입니다.
STEP C두 점 사이의 거리 구하기
원 (x−2)²+(y+3)²=13과 직선 y=−2가 만나는 두 점은 (2+2√3, −2), (2−2√3, −2)입니다. y좌표가 같으므로 거리는 x좌표의 차이와 같고, (2+2√3)−(2−2√3)=4√3입니다.
1등급 다른 풀이 · 반지름이 a와 무관하다는 사실 이용하기
원의 식을 처음부터 완전제곱식으로 정리해 두면 이 문항의 구조가 한눈에 드러납니다. x²+y²−4x−2ay+a²−9=0은 (x−2)²+(y−a)²=4+a²−(a²−9)=13이 되어, a가 무엇이든 중심은 (2, a), 반지름은 항상 √13입니다. 즉 a는 원을 위아래로 평행이동시킬 뿐 크기는 바꾸지 않습니다.
그러면 조건 (나)는 중심에서 직선 y=−2까지의 거리와 √13의 대소 비교로 끝납니다. 그 거리는 |a−(−2)|=|a+2|이므로, a=3이면 5>√13이라 만나지 않고 a=−3이면 1<√13이라 두 점에서 만납니다. 대입해서 판별식을 볼 필요조차 없습니다.
현의 길이도 피타고라스 정리 한 줄입니다. 중심에서 현까지의 거리가 1, 반지름이 √13이므로 현의 절반은 √(13−1)=2√3이고, 현 전체의 길이는 그 두 배인 4√3입니다. 중심에서 현에 내린 수선의 발이 현을 이등분한다는 성질만 알면 좌표를 구하지 않고도 답이 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- a²=9에서 a=3만 쓰고 넘어가는 것이 이 문항의 1순위 오답입니다. 제곱을 벗길 때는 항상 두 부호를 모두 적어두고, 남은 조건으로 걸러내는 순서를 지키세요. 하필 이 문항에서 살아남는 값은 음수입니다.
- 중심의 y좌표는 a이지 −a가 아닙니다. −2ay 항에서 부호를 한 번 더 뒤집으면 (i)과 (ii)의 결론이 통째로 바뀌어 ‘만나지 않는 쪽’을 답으로 끌고 가게 됩니다.
- ‘서로 다른 두 점에서 만난다’는 중심과 직선 사이의 거리 < 반지름입니다. 등호가 들어가면 접하는 경우가 되어 교점이 하나가 되므로, 부등호에 등호를 붙이지 않도록 주의하세요.
- 구하는 값은 x좌표가 아니라 두 점 사이의 거리입니다. 2+2√3을 그대로 답으로 고르면 선택지에 없거나, 절반인 2√3을 골라 ①·③ 쪽으로 흘러가기 쉽습니다.
- 계산 대신 그림 한 장이 더 빠른 문항입니다. 중심 (2, ±3), 반지름 √13≈3.6인 원 두 개와 직선 y=−2를 대략 그려보면 위쪽 원이 직선에 닿지 못한다는 사실이 눈으로 확인됩니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.