행복한 일등급문제
2024년 03월 고2 학력평가 19번
내분점
원과 직선의 접함
수직 조건
출제의도
이 문항의 핵심은 ‘점 P에서만 만난다’는 다섯 글자를 어떻게 번역하느냐입니다. 만나는 점이 하나뿐이라는 말은 곧 직선 AB가 원의 접선이고 P가 접점이라는 뜻입니다. 이 번역을 해내면 조건이 두 개로 쪼개집니다. 첫째, 접점 P는 원 위의 점이다. 둘째, 중심과 접점을 잇는 선분은 접선과 수직이다.
미지수가 a, b 두 개이므로 식도 정확히 두 개가 필요합니다. 일등급 문제로 배치된 이유는 계산이 어려워서가 아니라, 조건 하나를 놓치면 식이 하나뿐이라 답이 나오지 않고, 판별식으로 정면 돌파하려 들면 계산이 급격히 무거워지기 때문입니다. 접함=수직이라는 기하적 지름길을 아는지가 갈림길입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 점 P의 좌표부터 확정하세요. A(0, 6), B(9, 0)을 2:1로 내분하는 점이므로 공식에 바로 넣으면 됩니다. 좌표가 정수로 깔끔하게 떨어지니, 여기서 값이 지저분하면 가중치 순서를 잘못 쓴 것입니다.
그다음 원 x²+y²−2ax−2by=0의 정체를 파악하세요. 완전제곱식으로 고치면 중심이 (a, b)이고 반지름이 √(a²+b²)입니다. 즉 중심 좌표가 곧 구해야 할 a, b이고, 이 원은 항상 원점을 지납니다. 미지수 두 개를 잡으려면 조건도 두 개를 뽑아야 한다는 점을 기억하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
첫 번째 식은 ‘P가 원 위의 점’에서 나옵니다. P(6, 2)를 원의 방정식에 대입해 a, b의 일차식을 얻으세요.
두 번째 식은 ‘접함’에서 나옵니다. 직선 AB와 원이 P에서만 만나므로 P는 접점이고, 중심 C(a, b)와 P를 잇는 직선은 AB에 수직입니다. 직선 AB의 기울기가 −23이므로 CP의 기울기는 32입니다. 이 직선이 P(6, 2)를 지난다는 사실에서 두 번째 일차식이 나옵니다.
일차식 두 개를 연립하면 a, b가 분수로 나옵니다. 구하는 것은 a+b 하나뿐이니, 통분에서 실수하지 않도록 마지막 계산만 천천히 하세요.
정답 확인
정답 ④ a+b = 229
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A내분점 P의 좌표 구하기
A(0, 6), B(9, 0)을 2:1로 내분하는 점의 좌표는 2×9+1×02+1=6, 2×0+1×62+1=2이므로 P(6, 2)입니다.
STEP BP가 원 위의 점임을 이용해 첫 번째 식 세우기
원 x²+y²−2ax−2by=0이 점 P(6, 2)를 지나므로 6²+2²−2a×6−2b×2=0, 즉 40−12a−4b=0에서 3a+b=10 … ㉠
STEP C접함(수직) 조건으로 두 번째 식 세우기
원의 방정식은 (x−a)²+(y−b)²=a²+b²이므로 중심은 C(a, b)입니다. 직선 AB와 원이 P에서만 만나므로 P는 접점이고, 중심 C와 P를 지나는 직선 l은 AB와 수직입니다.
직선 AB의 기울기는 0−69−0=−23이므로 직선 l의 기울기는 32이고, l은 P(6, 2)를 지나므로 y=32(x−6)+2입니다. 중심 (a, b)를 대입하면 b=32(a−6)+2, 즉 3a−2b=14 … ㉡
STEP D연립하여 a+b 구하기
㉠−㉡에서 3b=−4이므로 b=−43, 이를 ㉠에 넣으면 3a=10+43=343에서 a=349입니다.
따라서 a+b=349−129=229입니다.
1등급 다른 풀이 · 중심이 놓일 수 있는 두 직선의 교점
구하는 것이 결국 원의 중심이라면, 조건을 모두 ‘중심이 어느 직선 위에 있는가’로 바꿔 읽는 편이 빠릅니다. 이 문항의 조건은 정확히 직선 두 개를 만들어 주고, 답은 그 교점입니다.
첫째, 원 x²+y²−2ax−2by=0은 상수항이 0이므로 항상 원점을 지납니다. 원점 O와 접점 P(6, 2)가 모두 원 위의 점이라면 중심은 선분 OP의 수직이등분선 위에 있습니다. OP의 중점은 (3, 1), 기울기는 13이므로 수직이등분선은 y−1=−3(x−3), 즉 3x+y=10입니다. 중심 (a, b)를 넣으면 ㉠과 완전히 같은 식이 나옵니다.
둘째, 접선의 성질에서 중심은 P를 지나고 AB에 수직인 직선 y=32(x−6)+2 위에 있습니다. 이것이 ㉡입니다. 결국 답은 OP의 수직이등분선과 P에서의 법선이 만나는 점이며, 그림을 먼저 그려두면 두 직선을 눈으로 확인한 뒤 계산은 한 번만 하면 됩니다. 판별식이나 점과 직선 사이의 거리 공식을 동원하는 것보다 훨씬 가볍습니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘점 P에서만 만난다’를 접한다로 번역하지 못하면 문제가 시작되지 않습니다. 교점의 개수가 1이라는 표현이 나오면 접선·판별식 D=0·중심에서 직선까지의 거리=반지름 세 가지 도구를 먼저 떠올리세요.
- 내분점은 먼 쪽 점에 큰 가중치가 붙습니다. 2:1이면 B의 좌표에 2가 곱해져 P(6, 2)가 됩니다. 순서를 바꿔 P(3, 4)로 쓰면 이후 계산이 전부 무너집니다.
- x²+y²−2ax−2by=0의 중심이 (a, b)라는 점을 확인하고 넘어가세요. 부호를 잘못 읽어 중심을 (−a, −b)로 두면 수직 조건 식이 반대로 세워집니다.
- 수직 조건은 기울기의 곱이 −1입니다. AB의 기울기 −23의 역수만 취해 −32로 쓰는 실수가 잦습니다. 부호까지 뒤집어 32가 되어야 합니다.
- 답이 분수인 문항은 마지막 통분에서 갈립니다. b=−43를 129로 바꿔 더해야 229가 나옵니다. 선택지에 209와 169가 나란히 배치된 것은 이 계산 실수를 노린 것입니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.