행복한 일등급문제
자취의 방정식
내분점·중점
도형의 길이
출제의도
(1)과 (2)는 문장만 다를 뿐 완전히 같은 문제입니다. 원 위를 움직이는 점이 하나 있고, 그 점에 끌려다니는 다른 점 하나가 있습니다. 끌려다니는 점이 그리는 도형이 무엇인지 묻는, 자취 문제의 가장 표준적인 형태입니다.
일등급 문제로 배치된 이유는 계산량이 아니라 미지수를 놓는 방향에 있습니다. 원 위의 점을 (a, b)로, 구하려는 점을 (x, y)로 놓은 뒤 a, b를 x, y로 되돌려 원의 식에 대입한다는 흐름을 한 번 몸에 익히면 두 문항 모두 세 줄이면 끝납니다. 이 흐름을 모르면 좌표를 잡아놓고도 무엇을 소거해야 할지 몰라 그 자리에 멈추게 됩니다. 마지막으로 묻는 것이 넓이가 아니라 길이(둘레)라는 점도 놓치기 쉬운 함정입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
자취 문제는 미지수를 두 종류로 구분하는 데서 출발합니다. 움직이는 원래 점은 (a, b), 내가 구하려는 점은 (x, y)로 놓으세요. (1)에서는 원 위의 점 B가 (a, b), 내분점 P가 (x, y)입니다. (2)에서는 원 위의 점 P가 (a, b), 중점 M이 (x, y)입니다.
그다음 할 일은 하나뿐입니다. 내분점 공식과 중점 공식으로 x, y를 a, b로 나타낸 뒤, 그 식을 a, b에 대해 거꾸로 풀어 두세요. a, b를 x, y로 바꿔 쓸 수 있으면 남은 작업은 대입뿐입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
(1) B(a, b)는 원 위의 점이므로 a²+b²−6a=0입니다. 선분 AB를 2:1로 내분하면 x=2a−63, y=2b3이므로 a=3x+62, b=32y입니다. 이 둘을 원의 식에 대입해 정리하세요.
(2) P(a, b)는 (a−1)²+b²=64를 만족합니다. 중점 공식에서 x=1+a2, y=−2+b2이므로 a=2x−1, b=2y+2입니다. 역시 대입해서 정리하면 x, y에 대한 식이 나옵니다.
두 경우 모두 정리된 식은 원의 방정식이 됩니다. 마지막에 묻는 것은 도형의 길이, 즉 원의 둘레 2πr이라는 점만 잊지 마세요.
정답 확인
정답 (1) 4π (2) 8π
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A(1) 점 P의 자취의 방정식 구하기
B(a, b)라 하면 원 x²+y²−6x=0 위의 점이므로 a²+b²−6a=0 … ㉠
A(−6, 0), B(a, b)를 2:1로 내분하는 점을 P(x, y)라 하면 x=2a−63, y=2b3이므로 a=3x+62, b=32y … ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 (x+2)²+y²−4(x+2)=0, 정리하면 x²+y²=4입니다.
STEP B(1) 도형의 길이 구하기
점 P가 나타내는 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 2인 원이므로, 그 길이(둘레)는 2π×2=4π입니다.
STEP C(2) 중점 M의 자취의 방정식 구하기
P(a, b)라 하면 원 (x−1)²+y²=64 위의 점이므로 (a−1)²+b²=64 … ㉠
선분 AP의 중점을 M(x, y)라 하면 x=1+a2, y=−2+b2이므로 a=2x−1, b=2y+2 … ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 (2x−2)²+(2y+2)²=64, 즉 (x−1)²+(y+1)²=16입니다.
STEP D(2) 도형의 길이 구하기
중점 M의 자취는 중심이 (1, −1)이고 반지름의 길이가 4인 원이므로, 구하는 길이는 2π×4=8π입니다.
1등급 다른 풀이 · 원을 통째로 축소해서 읽기
두 문항은 모두 ‘한 점을 중심으로 원 전체를 일정 비율로 축소한 그림’입니다. 이렇게 읽으면 대입 계산 없이 답이 먼저 보입니다.
(1)에서 점 P는 선분 AB를 2:1로 내분하므로 AP=23AB입니다. 즉 B가 원 위를 한 바퀴 돌 때 P는 점 A를 중심으로 원을 23배 축소한 도형을 그립니다. 원래 원 x²+y²−6x=0은 중심 (3, 0), 반지름 3이므로 새 중심은 A(−6, 0)에서 (3, 0) 쪽으로 23만큼 간 점, 즉 (0, 0)이고 반지름은 3×23=2입니다. 둘레는 4π로 곧바로 확정됩니다.
(2)에서 M은 선분 AP의 중점이므로 AM=12AP, 즉 A(1, −2)를 중심으로 한 12배 축소입니다. 원래 원의 중심 (1, 0), 반지름 8이므로 새 중심은 A와 (1, 0)의 중점인 (1, −1), 반지름은 4입니다. 둘레는 8π입니다. 축소 비율이 곧 반지름의 비율이라는 사실만 기억하면 검산 도구로도 훌륭합니다.
실수를 줄이는 전략
- 내분점 공식의 가중치 순서를 확인하세요. 선분 AB를 m:n으로 내분하는 점은 mx₂+nx₁m+n입니다. 2:1이면 B의 좌표에 2가 곱해집니다. 1과 2를 바꿔 쓰면 자취의 중심이 통째로 달라집니다.
- a, b를 x, y로 되돌리는 역산에서 분수 처리를 조심하세요. y=2b3의 역은 b=32y이지 b=23y가 아닙니다. 이 한 곳에서 뒤집히면 반지름이 엉뚱하게 나옵니다.
- (2)의 중점 공식에서 A의 y좌표가 −2라는 부호를 꼭 반영하세요. b=2y+2에서 +2를 −2로 쓰면 중심의 y좌표가 +1로 뒤집힙니다.
- 묻는 것은 도형의 길이이지 넓이가 아닙니다. (1)은 반지름이 2라 둘레와 넓이가 우연히 둘 다 4π여서 실수를 눈치채지 못하고 지나가지만, (2)에서 넓이 πr²를 쓰면 8π 대신 16π가 나와 곧바로 틀립니다. 자취가 원이면 길이는 항상 2πr입니다.
- 자취를 구한 뒤에는 제외되는 점이 있는지 습관적으로 점검하세요. 이 문항에서는 B와 P가 원 위를 모두 지나므로 제외점이 없지만, 분모가 0이 되거나 세 점이 일직선이 되는 유형에서는 반드시 빼야 합니다.
엄선된 풀이 영상
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