행복한 일등급문제
최다빈출 · 왕중요
자취의 방정식
삼각형의 무게중심
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 두 개의 큰 단원 기술을 한 줄로 이어 붙인 문제입니다. 앞부분은 자취의 방정식으로, 원 위를 움직이는 점 A를 따라 무게중심 G가 그리는 도형을 구합니다. 뒷부분은 점과 직선 사이의 거리로, 그 도형 위의 점에서 주어진 직선까지 거리의 최댓값과 최솟값을 구합니다. 어느 한쪽만 익숙해서는 끝까지 갈 수 없습니다.
자취 문제의 핵심은 문자의 역할 구분입니다. 움직이는 점 A는 (a, b), 구하려는 점 G는 (x, y)로 두고 a, b를 x, y로 표현한 뒤 a, b를 완전히 소거해야 자취의 방정식이 됩니다. 이 역할이 뒤섞이면 식은 나와도 의미가 없는 관계식이 되어 버립니다. 최다빈출·왕중요로 배치된 것은 바로 이 절차 자체가 시험의 단골 채점 포인트이기 때문입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
점 A는 반지름 3, 중심 (3, 6)인 원 위를 움직이므로 A(a, b)로 두면 (a−3)²+(b−6)²=9라는 조건식을 갖습니다. 이 식이 나중에 a, b를 소거하는 통로가 됩니다.
한편 구하려는 무게중심을 G(x, y)로 두고 무게중심 공식 x=a+4−13, y=b+2+43을 세운 뒤, 이를 a=… , b=… 꼴로 뒤집어 두세요. 그러면 위 조건식에 대입할 준비가 끝납니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
a=3x−3, b=3y−6을 (a−3)²+(b−6)²=9에 대입하면 각 괄호에서 3이 공통으로 묶입니다. 전개하지 말고 3을 먼저 밖으로 빼낸 뒤 제곱하면 양변을 9로 나누는 것으로 정리가 끝나고, 중심과 반지름이 깔끔하게 드러납니다.
자취가 원으로 나오면 마지막은 정형화된 절차입니다. 중심에서 직선까지의 거리 d를 구하고, 반지름 r과 비교해 최댓값 M=d+r, 최솟값 m=d−r로 둡니다. 이때 Mm=(d+r)(d−r)=d²−r²이므로 무리수를 각각 곱하지 말고 곱셈 공식으로 한 번에 처리하세요. 단, 이 공식은 d>r일 때만 유효하다는 점을 반드시 확인해야 합니다.
정답 확인
정답 Mm = 7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A점 A가 움직이는 원의 방정식 세우기
반지름의 길이가 3이고 중심의 좌표가 (3, 6)인 원의 방정식은 (x−3)²+(y−6)²=9입니다. 점 A의 좌표를 A(a, b)라 하면 A는 이 원 위의 점이므로
(a−3)²+(b−6)²=9 ······ ㉠
STEP B무게중심 공식으로 자취의 방정식 구하기
무게중심 G의 좌표를 G(x, y)라 하면 세 점 A(a, b), B(4, 2), C(−1, 4)에 대하여 x=a+4−13, y=b+2+43이므로 a=3x−3, b=3y−6 ······ ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 (3x−3−3)²+(3y−6−6)²=9, 즉 (3x−6)²+(3y−12)²=9입니다. 좌변에서 3을 묶어내면 9(x−2)²+9(y−4)²=9이므로 양변을 9로 나누어
(x−2)²+(y−4)²=1
즉 점 G가 나타내는 도형은 중심이 (2, 4)이고 반지름의 길이가 1인 원입니다.
STEP CMm의 값 구하기
원의 중심 (2, 4)와 직선 x+y−2=0 사이의 거리는 |2+4−2|√(1²+1²)=4√2=2√2입니다. 반지름의 길이 1보다 크므로 원과 직선은 만나지 않고, 최댓값과 최솟값은 각각 중심을 지나는 수선 위에서 나타납니다.
따라서 M=(중심에서 직선까지의 거리)+(반지름의 길이)=2√2+1, m=(중심에서 직선까지의 거리)−(반지름의 길이)=2√2−1입니다.
그러므로 Mm=(2√2+1)(2√2−1)=8−1=7입니다.
1등급 다른 풀이 · 무게중심은 13 축소 변환
대입 계산 없이도 자취가 원이라는 사실과 그 중심·반지름을 눈으로 읽을 수 있습니다.
무게중심의 좌표 x=a+33, y=b+63을 보면, A가 움직일 때 G는 A의 움직임을 정확히 13만큼만 따라 움직입니다. B와 C가 고정되어 있으므로 A가 어떤 도형을 그리든 G는 그 도형을 13로 축소한 닮은 도형을 그리게 됩니다.
그러므로 A의 자취가 반지름 3인 원이면 G의 자취는 반지름 3×13=1인 원입니다. 중심은 A가 원의 중심 (3, 6)에 있을 때의 무게중심, 즉 (3+4−13, 6+2+43)=(2, 4)입니다. STEP B의 결과가 계산 없이 그대로 나옵니다.
이 관점은 검산용으로도 강력합니다. 대입 전개 과정에서 부호나 상수를 하나 틀리면 반지름이 1이 아닌 값으로 나오는데, 반지름은 무조건 원래의 13라는 사실을 알고 있으면 즉시 오류를 잡아낼 수 있습니다.
내신 연계 한 문제 더 · 수직인 두 접선의 교점
해설 이미지 뒤쪽에는 같은 도구를 쓰는 내신연계 출제문항 260번이 함께 실려 있습니다. 원 (x−2)²+(y+2)²=4에 접하는 접선 중 서로 수직인 두 직선의 교점 P가 이루는 도형 위의 점에서 직선 y=x+1까지 거리의 최솟값을 구하는 문제입니다.
( i ) P의 자취 — 중심을 C, 두 접점을 A, B라 하면 CA⊥(접선), CB⊥(접선)이고 두 접선이 서로 수직이므로 사각형 CAPB는 한 변의 길이가 2인 정사각형입니다. 따라서 CP=2√2로 일정하고, P의 자취는 중심 (2, −2), 반지름 2√2인 원 (x−2)²+(y+2)²=8입니다.
( ii ) 거리의 최솟값 — 중심 (2, −2)에서 직선 x−y+1=0까지의 거리는 |2+2+1|√2=5√22이고 이는 반지름 2√2보다 큽니다. 따라서 최솟값은 5√22−2√2=√22입니다. (참고로 최댓값은 5√22+2√2=9√22입니다.)
0505번과 구조가 완전히 같습니다. 자취가 원임을 밝히고 → 중심에서 직선까지 거리 d를 구하고 → d±r로 최대·최소를 잡는 세 박자를 그대로 반복하면 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 자취 문제에서는 움직이는 점과 구하는 점의 문자를 반드시 분리하세요. A를 (x, y)로 두는 순간 무게중심도 (x, y)가 되어 식이 뒤엉킵니다. A(a, b), G(x, y)로 두고 마지막에 a, b를 소거하는 순서를 고정하세요.
- a=3x−3, b=3y−6으로 뒤집는 과정에서 부호를 자주 놓칩니다. x=a+33에서 양변에 3을 곱해 3x=a+3, 즉 a=3x−3임을 한 단계씩 적어 확인하세요.
- 대입 후 (3x−6)²을 전개하지 말고 9(x−2)²로 묶으세요. 전개해서 9x²−36x+36 형태로 끌고 가면 마지막에 다시 완전제곱으로 되돌려야 해서 실수 확률만 올라갑니다.
- M=d+r, m=d−r 공식은 직선이 원과 만나지 않을 때(d>r)만 성립합니다. d≤r이면 최솟값은 0이 되므로, 거리를 구한 직후 반지름과 대소를 비교하는 한 줄을 반드시 넣으세요. 여기서는 2√2≈2.83>1이므로 안전합니다.
- Mm을 구할 때 (2√2+1)(2√2−1)을 일일이 전개하면 중간항 부호에서 실수가 납니다. 합차공식으로 (2√2)²−1²=8−1=7로 처리하는 것이 빠르고 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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