행복한 일등급문제
서술형 대비 · 값 구하기
원의 접선의 방정식
접선과 반지름의 수직
곱셈 공식의 변형
출제의도
이 문항은 ‘원 위의 점에서의 접선’이라는 한 가지 도구를 두 번, 서로 다른 방향으로 쓰게 만드는 문제입니다. 앞부분에서는 접선과 반지름이 수직이라는 성질로 반지름 r을 결정하고, 뒷부분에서는 접선의 방정식 ax+by=r²에 점 A를 대입해 a와 b의 관계식을 얻습니다. 도구는 하나인데 쓰임이 달라서, 성질을 외운 수준으로는 두 번째 단계에서 막히게 됩니다.
또 하나의 핵심은 P의 좌표를 끝까지 구하지 않는다는 점입니다. 문제가 요구하는 것은 50ab이므로 a+b와 a²+b²만 알면 곱셈 공식의 변형으로 ab가 나옵니다. 대칭식을 알아보고 개별 값 계산을 건너뛰는 판단력이 이 문항의 진짜 채점 기준입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 선분 PQ의 정체를 밝히세요. 접선 l과 반지름 OP는 수직인데, 문제에서 말한 ‘점 P를 지나고 l과 수직인 직선’도 OP와 같은 방향입니다. 즉 그 직선은 중심 O를 지나므로 PQ는 원의 지름이고 PQ=2r, OP=r입니다.
그러면 삼각형 APQ에서 ∠APQ=90°임이 확정됩니다. 직각삼각형에서 빗변은 항상 가장 긴 변이므로, 이등변이 되는 경우는 두 직각변이 같은 경우 하나뿐입니다. 이등변삼각형 문제라고 해서 세 경우로 나눌 필요가 없다는 점을 먼저 확인하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
PA=PQ=2r로 두고, 직각삼각형 APO에서 OA²=OP²+AP²를 세우세요. OA=√(2²+2²)=2√2이므로 8=r²+4r²이 되어 r²이 곧바로 결정됩니다. 원의 방정식이 확정되면 절반은 끝난 셈입니다.
다음은 점 P(a, b)에 대한 두 개의 식을 만드는 일입니다. 하나는 P가 원 위의 점이라는 조건 a²+b²=r², 다른 하나는 원 위의 점에서의 접선 ax+by=r²이 점 A(2, 2)를 지난다는 조건입니다. 두 식에서 a+b와 a²+b²가 나오면 (a+b)²=a²+2ab+b²를 이용해 ab를 구하세요. a, b를 각각 구하려 들면 시간이 두 배로 듭니다.
정답 확인
정답 50ab = −24
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건을 만족하는 반지름의 길이 구하기
점 P를 지나고 접선 l과 수직인 직선은 중심 O를 지나므로 선분 PQ는 원 C의 지름입니다. 따라서 PQ=2r, OP=r입니다.
삼각형 APQ는 ∠APQ=90°인 직각삼각형이고 이등변삼각형이므로 PA=PQ=2r입니다. 또 OA=√(2²+2²)=2√2이므로 직각삼각형 APO에서 OA²=OP²+AP², 즉 8=r²+4r²=5r²이고 r²=85입니다.
그러므로 원 C의 방정식은 x²+y²=85입니다. (0<r<2√2를 만족하므로 점 A는 원의 외부에 있습니다.)
STEP B원 위의 점 P(a, b)에서의 접선 이용하기
점 P(a, b)는 원 x²+y²=85 위의 점이므로 a²+b²=85 ······ ㉠
원 x²+y²=r² 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은 ax+by=r²이므로 여기서는 ax+by=85입니다. 이 접선이 점 A(2, 2)를 지나므로 2a+2b=85, 즉 a+b=45 ······ ㉡
STEP C곱셈 공식으로 50ab의 값 구하기
㉠, ㉡에서 2ab=(a+b)²−(a²+b²)=1625−85=1625−4025=−2425입니다.
따라서 50ab=25×2ab=25×(−2425)=−24입니다. 문제가 50ab를 묻는 이유는 답이 정수로 떨어지도록 배수를 맞춰 둔 것이므로, 분수 계산이 지저분해도 방향이 맞다는 신호로 받아들이면 됩니다.
1등급 다른 풀이 · 두 원의 교점이 놓인 직선
접선의 길이를 이용하면 접선의 방정식 공식을 쓰지 않고도 a+b를 얻을 수 있습니다.
PA는 점 A에서 원 C에 그은 접선의 길이이므로 PA²=OA²−r²=8−r²이고, 한편 PA=2r이므로 4r²=8−r², 곧 r²=85입니다. STEP A를 직각삼각형 없이 접선의 길이 공식 한 줄로 끝낸 셈입니다.
이때 점 P는 원 x²+y²=85 위에 있으면서 동시에 중심 A(2, 2), 반지름 PA=2r인 원 (x−2)²+(y−2)²=4r²=325 위에도 있습니다. 두 원의 방정식을 빼면 x²과 y²이 사라지고 −4x−4y+8=−245, 즉 x+y=45라는 직선이 남습니다.
이는 앞의 ㉡과 정확히 같은 식입니다. 두 원의 교점이 놓인 직선은 두 방정식을 빼면 나온다는 사실은 0503번에서도 그대로 쓰였으므로, 두 문항을 같은 도구로 묶어 기억해 두면 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘P를 지나고 l과 수직인 직선’을 새 직선으로 보고 방정식을 세우려 하면 시간이 크게 낭비됩니다. 접선과 반지름이 수직이라는 성질에서 그 직선이 곧 중심을 지나는 직선임을 즉시 읽어내세요.
- 이등변삼각형이라는 말에 반사적으로 세 경우로 나누지 마세요. 이 문항은 ∠APQ=90°가 이미 확정되어 있고 빗변 AQ는 항상 가장 긴 변이므로, PA=PQ 외의 경우는 애초에 성립하지 않습니다.
- 접선의 방정식 공식은 원 위의 점에서만 ax+by=r² 형태입니다. 원 밖의 점 A(2, 2)를 그대로 대입해 2x+2y=r²로 쓰는 것은 전혀 다른 직선이 되므로 주의하세요.
- a, b를 각각 구하려 하면 2±√65 꼴의 무리수가 나와 계산이 급격히 무거워집니다. 묻는 값이 ab인지 a+b인지 확인하고 대칭식으로 처리하는 습관을 들이세요.
- (a+b)²−(a²+b²)는 ab가 아니라 2ab입니다. 여기서 2를 빠뜨리면 50ab가 −12로 나와 절반 크기의 오답이 됩니다. 마지막에 50=25×2임을 이용해 정수로 떨어지는지 확인하면 검산이 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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