행복한 일등급문제
y축에 접하는 원
점과 직선 사이의 거리
절댓값 방정식
출제의도
이 문항은 원을 결정하는 조건이 세 개 겹쳐 있습니다. 중심이 포물선 y=x²+1 위에 있고, y축에 접하며, 주어진 직선에도 접합니다. 세 조건을 각각 식으로 옮기면 미지수 하나짜리 방정식이 되고, 그 근이 곧 원의 개수가 됩니다.
일등급 문제인 이유는 절댓값 처리에 있습니다. y축에 접한다는 조건에서 반지름이 |a|로 절댓값이 붙고, 점과 직선 사이의 거리 공식에서도 절댓값이 한 번 더 붙습니다. 절댓값이 양쪽에 있는 등식은 부호 조합에 따라 방정식 두 개로 갈라지고, 그중 하나는 실근이 없어 버려집니다. 문제가 친절하게 ‘원은 2개 있다’고 알려준 것은 바로 이 판별식 검증을 반드시 거치라는 신호입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
중심을 미지수 하나로 잡는 것이 출발점입니다. 중심이 y=x²+1 위에 있으므로 x좌표를 a라 하면 중심은 C(a, a²+1)로 자동 결정됩니다.
다음은 반지름입니다. 원이 y축에 접한다는 것은 중심에서 y축까지의 거리가 곧 반지름이라는 뜻이고, 그 거리는 중심의 x좌표의 절댓값 |a|입니다. 이제 원이 미지수 a 하나로 완전히 표현되었으니, 남은 조건 하나(직선에 접함)를 a에 대한 방정식으로 옮기면 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직선에 접한다는 조건도 똑같이 ‘중심에서 직선까지의 거리 = 반지름’으로 바꿉니다. 점과 직선 사이의 거리 공식을 써서 |4a−3(a²+1)−3| / 5 = |a| 꼴을 만든 뒤, 분모를 넘겨 |−3a²+4a−6| = 5|a|로 정리하세요.
절댓값을 벗길 때는 양변이 같거나 부호가 반대인 두 경우로 나눕니다. 그러면 a에 대한 이차방정식이 두 개 나오는데, 여기서 멈추면 안 됩니다. 각각의 판별식을 확인해 실근이 있는 쪽만 남기세요. 문제가 원이 2개라고 했으니 살아남는 이차방정식은 하나뿐이고, 그 두 근의 절댓값이 곧 p, q입니다.
정답 확인
정답 p + q = 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ay축에 접하는 원의 방정식 세우기
중심이 이차함수 y=x²+1의 그래프 위에 있으므로 중심을 C(a, a²+1)이라 둡니다. 원이 y축에 접하므로 (반지름의 길이) = |중심의 x좌표| = |a|이고, 원의 방정식은 (x−a)² + (y−a²−1)² = a²이 됩니다.
STEP B직선에 접할 조건을 a에 대한 방정식으로
직선 4x−3y−3=0이 이 원의 접선이므로, 중심 (a, a²+1)에서 직선까지의 거리가 반지름 |a|와 같습니다.
|4a−3(a²+1)−3| / √(4²+(−3)²) = |a| 에서 |−3a²+4a−6| = 5|a|이므로, 다음 두 경우로 갈라집니다.
( i ) −3a²+4a−6 = 5a — 정리하면 3a²+a+6=0
( ii ) −3a²+4a−6 = −5a — 정리하면 3a²−9a+6=0
STEP C판별식으로 걸러내고 p+q 구하기
( i ) 3a²+a+6=0의 판별식은 D = 1 − 4·3·6 < 0이므로 실근을 갖지 않습니다. 이 경우에서는 원이 하나도 나오지 않습니다.
( ii ) 3a²−9a+6=0은 a²−3a+2=0, 즉 (a−1)(a−2)=0이므로 a=1 또는 a=2입니다. 조건을 만족하는 원이 2개라는 문제의 서술과 정확히 맞아떨어집니다.
두 원의 중심은 (1, 2), (2, 5)이고 반지름은 각각 |1|=1, |2|=2입니다. 따라서 p+q = 1+2 = 3입니다.
1등급 다른 풀이 · 각의 이등분선 위에서 찾기
이 원은 y축과 직선 4x−3y−3=0에 동시에 접합니다. 두 직선에 동시에 접하는 원의 중심은 두 직선까지의 거리가 같은 점, 즉 두 직선이 이루는 각의 이등분선 위에 있습니다. 문제를 ‘포물선과 각의 이등분선의 교점 찾기’로 바꿔 읽는 셈입니다.
거리가 같다는 조건은 |x| = |4x−3y−3| / 5, 곧 5|x| = |4x−3y−3|이고, 부호를 갈라 정리하면 이등분선 두 개 y = 3x−1과 x+3y+3 = 0을 얻습니다. 두 이등분선은 서로 수직이며, 이는 각의 이등분선이 항상 한 쌍으로 직교한다는 사실과 일치합니다.
이제 각 이등분선을 포물선 y=x²+1과 연립하면 됩니다. y=3x−1과 연립하면 x²+1=3x−1에서 x²−3x+2=0, 즉 x=1 또는 x=2로 중심 (1, 2), (2, 5)가 나옵니다. 나머지 이등분선과 연립하면 3x²+x+6=0이 되어 실근이 없습니다. 앞의 풀이에서 판별식으로 버렸던 경우가, 여기서는 ‘포물선과 만나지 않는 이등분선’이라는 그림으로 설명됩니다.
이 관점의 이점은 두 개의 원이 같은 직선 위에 중심을 가진다는 구조가 먼저 보인다는 것입니다. 그래서 두 중심 (1, 2)와 (2, 5)를 찍어보면 기울기 3인 직선 위에 나란히 놓이고, 반지름도 x좌표를 그대로 읽으면 되므로 검산이 순식간에 끝납니다.
실수를 줄이는 전략
- y축에 접하는 원의 반지름은 |a|이지 a가 아닙니다. 절댓값을 빼먹으면 a가 음수인 경우를 놓치거나, 반대로 존재하지 않는 근을 답에 넣게 됩니다.
- |A| = |B| 꼴을 풀 때는 A = B와 A = −B 두 경우 모두 적어야 합니다. 한쪽만 처리하면 이 문제에서는 하필 실근이 없는 쪽만 남길 위험이 있습니다.
- 이차방정식이 두 개 나왔다고 근이 자동으로 네 개인 것은 아닙니다. 반드시 판별식으로 실근 존재 여부를 확인하세요. 문제가 ‘원은 2개 있다’고 명시한 것이 그 검증을 요구하는 장치입니다.
- 구한 것은 중심의 x좌표 a이지 반지름이 아닙니다. p, q는 |a|이므로 a의 합을 그대로 답으로 쓰지 않도록 주의하세요. 이 문제는 두 근이 모두 양수라 값이 우연히 같지만, a가 음수로 나오는 유형에서는 곧바로 오답이 됩니다.
- 점과 직선 사이의 거리 공식의 분모 √(4²+(−3)²)=5를 계산 도중에 빠뜨리는 실수가 잦습니다. 분모를 먼저 넘겨 |−3a²+4a−6| = 5|a| 형태로 만들어 놓고 시작하면 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.