행복한 일등급문제
Ⅰ-03 원의 방정식 · STEP3 일등급문제
현의 수직이등분선
수직 조건
직선의 방정식
삼각형의 넓이
출제의도
겉보기에는 ‘원과 직선의 교점 → 수직이등분선 → 삼각형의 넓이’로 이어지는 3단 문제라 계산이 길어 보입니다. 그러나 이 문항의 핵심은 교점 P, Q를 구하지 않아도 된다는 것을 눈치채는 것입니다. 수직이등분선을 결정하는 데 필요한 정보는 ‘지나는 점 하나’와 ‘기울기 하나’뿐이고, 두 가지 모두 교점을 구하지 않고도 알아낼 수 있습니다.
지나는 점은 원의 중심에서 현에 내린 수선이 현을 수직이등분한다는 성질에서 나옵니다. PQ가 이 원의 현이므로, PQ의 수직이등분선은 반드시 중심 (2, 1)을 지납니다. 기울기는 y=x에 수직이라는 조건에서 −1로 즉시 결정됩니다. 조건을 도형의 성질로 번역할 수 있는 학생과 무작정 연립방정식부터 푸는 학생 사이에 걸리는 시간 차이가 크게 벌어지는, 전형적인 일등급 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
구하려는 것은 삼각형 OAB의 넓이이고, A와 B는 PQ의 수직이등분선이 두 좌표축과 만나는 점입니다. 즉 이 문제는 결국 수직이등분선의 방정식 하나만 찾으면 끝납니다.
직선을 결정하려면 무엇이 필요할까요? 점 하나와 기울기 하나입니다. 기울기는 y=x에 수직이므로 바로 나옵니다. 그렇다면 ‘반드시 지나는 점’은 어디서 얻을 수 있을까요?
P와 Q가 모두 원 위의 점이라는 사실에 주목하세요. 선분 PQ는 이 원의 현입니다. 현의 수직이등분선이 항상 지나는 특별한 점이 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
원 (x−2)²+(y−1)²=1의 중심은 (2, 1), 반지름은 1입니다. 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지나므로, 구하는 직선은 점 (2, 1)을 지나고 기울기가 −1인 직선입니다. 점과 기울기가 주어졌을 때의 직선의 방정식 공식으로 정리해 보세요.
그다음은 x절편과 y절편입니다. 얻은 직선에 y=0을 넣어 A를, x=0을 넣어 B를 구하면 두 변이 각각 x축·y축 위에 놓인 직각삼각형 OAB가 완성됩니다. 넓이는 12×(밑변)×(높이)로 곧바로 계산됩니다.
마지막으로 넓이를 pq 꼴로 볼 때 p와 q가 서로소인지를 반드시 확인한 뒤 p+q를 답하세요.
정답 확인
정답 p+q = 11
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP APQ의 수직이등분선 구하기
원 (x−2)²+(y−1)²=1의 중심은 (2, 1)이고 반지름의 길이는 1입니다. 두 점 P, Q가 모두 원 위에 있으므로 선분 PQ는 이 원의 현이고, 중심에서 현에 내린 수선은 현을 수직이등분하므로 PQ의 수직이등분선은 원의 중심 (2, 1)을 지납니다.
또 이 직선은 직선 y=x에 수직이므로 기울기는 −1입니다. 따라서 y−1 = −(x−2)에서
y = −x + 3
STEP B삼각형 OAB의 넓이 구하기
직선 y=−x+3이 x축과 만나는 점은 A(3, 0), y축과 만나는 점은 B(0, 3)입니다. 삼각형 OAB는 O를 직각으로 하는 직각삼각형이므로
(삼각형 OAB의 넓이) = 12 × 3 × 3 = 92
9와 2는 서로소이므로 p=9, q=2이고, 따라서 p+q=11입니다.
1등급 다른 풀이 · 교점을 직접 구해 확인하기
성질을 쓰지 않고 정직하게 교점을 구해도 답은 같습니다. 시험장에서 시간이 남았을 때 검산용으로 쓰기 좋은 경로입니다.
y=x를 원의 방정식에 대입하면 (x−2)²+(x−1)²=1이고, 정리하면 2x²−6x+4=0, 즉 x²−3x+2=0에서 x=1 또는 x=2입니다. 따라서 P(1, 1), Q(2, 2)입니다.
선분 PQ의 중점은 (32, 32)이고, 여기를 지나며 기울기가 −1인 직선을 세우면 y−32 = −(x−32), 곧 y=−x+3으로 STEP A와 정확히 일치합니다.
이 계산을 해보면 왜 성질을 쓰는 편이 빠른지가 분명해집니다. 중점 (32, 32)와 중심 (2, 1)은 서로 다른 점이지만, 같은 직선 위에 있으므로 어느 쪽을 써도 결과가 같습니다. 문제에서 원의 중심은 처음부터 주어져 있고 중점은 계산해야 얻어지니, 주어진 것을 쓰는 쪽이 언제나 유리합니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘현의 수직이등분선은 중심을 지난다’는 이 단원 전체를 관통하는 무기입니다. 원 위의 두 점이 등장하는 순간 반사적으로 이 문장을 떠올리세요. 0497번의 ‘중심에서 현까지의 거리’와 사실상 같은 성질의 다른 얼굴입니다.
- 수직 조건에서 기울기의 곱은 −1입니다. y=x의 기울기가 1이므로 수직인 직선의 기울기는 −1이지, 1도 12도 아닙니다. 그림을 그려 우하향하는지 눈으로 확인하면 부호 실수를 막을 수 있습니다.
- 절편을 구할 때 x절편과 y절편을 바꿔 대입하는 실수가 잦습니다. x축과 만나는 점은 y=0을 대입해 얻습니다. 이 문항은 두 절편이 우연히 모두 3이라 넘어가지만, 다른 문제에서는 그대로 오답이 됩니다.
- ‘서로소인 자연수 p, q’ 조건을 놓치지 마세요. 넓이가 184처럼 나왔다면 반드시 기약분수로 줄인 뒤 p, q를 읽어야 합니다. 약분을 안 하면 p+q가 22로 어긋납니다.
- 여유가 있다면 직선 y=x가 원과 정말 두 점에서 만나는지 확인하세요. 중심 (2, 1)에서 직선 x−y=0까지의 거리는 1√2로 반지름 1보다 작으므로 두 교점이 존재합니다. 이 확인이 STEP A 전체의 전제입니다.
엄선된 풀이 영상
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