TOUGH
2018년 11월 고1 학력평가 26번
두 점 사이의 거리
자취로서의 원
최댓값
출제의도
이 문항은 “선분 AB의 길이가 3″이라는 한 줄짜리 조건을 점 B의 자취로 바꿔 읽을 수 있는지를 묻습니다. a, b를 미지수 두 개로 두고 대수적으로 덤비면 (a−5)²+(b−12)²=9라는 제약 아래 a²+b²을 최대화하는 조건부 최적화가 되어 고1 도구로는 감당하기 어렵습니다.
반대로 이 식을 중심 A(5, 12), 반지름 3인 원으로 읽는 순간, 구해야 할 a²+b²은 OB²이 되고 문제는 “원 위의 점까지의 거리가 최대일 때”라는 한 문장으로 줄어듭니다. 식을 도형으로 번역하는 능력 하나로 난이도가 완전히 갈리는, 원의 방정식 단원의 전형적인 관문 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
조건 AB=3을 거리공식으로 써 보면 √((a−5)²+(b−12)²)=3이고, 양변을 제곱하면 (a−5)²+(b−12)²=9입니다. 이 식의 정체가 무엇인지 먼저 알아보세요. a, b를 x, y로 바꿔 쓰면 익숙한 도형의 방정식이 됩니다.
다음으로 구하는 값 a²+b²도 그냥 두지 말고 거리로 번역해 보세요. 원점 O(0, 0)에서 점 B(a, b)까지의 거리 OB와 어떤 관계인가요? 두 번역이 끝나면 문제는 그림 한 장으로 정리됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
점 B는 중심 A(5, 12), 반지름 3인 원 위를 움직이고, a²+b²=OB²이므로 OB가 최대일 때 답도 최대가 됩니다. 원 위의 점까지의 거리가 최대가 되는 위치는 항상 정해져 있습니다. 원점과 중심을 잇는 직선이 원과 만나는 두 점 중, 원점에서 더 먼 쪽입니다.
그 점을 B′이라 하면 OB′=OA+AB′ 꼴로 쪼개집니다. OA는 원점과 A(5, 12) 사이의 거리이고 5, 12, 13 세 수를 떠올리면 암산으로 나옵니다. AB′은 반지름이므로 3이고요. 마지막에 구하는 것이 OB가 아니라 OB²이라는 점만 놓치지 마세요.
정답 확인
정답 a²+b² 의 최댓값 = 256
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 AB=3을 원의 방정식으로 번역
두 점 A(5, 12), B(a, b)에 대하여 AB=√((a−5)²+(b−12)²)=3이므로 양변을 제곱하면 (a−5)²+(b−12)²=9입니다. 즉 점 B는 중심 A(5, 12), 반지름 3인 원 (x−5)²+(y−12)²=9 위의 점입니다.
STEP Ba²+b²이 최대가 되는 B의 위치 찾기
OB=√(a²+b²)이므로 OB²=a²+b²이고, OB가 최대일 때 a²+b²도 최대가 됩니다.
최대 위치 — 직선 OA가 원과 만나는 두 점 중 원점에서 더 먼 점을 B′이라 하면, 원 위의 임의의 점 B에 대해 OB ≤ OB′이 성립합니다.
이때 O, A, B′이 이 순서로 한 직선 위에 놓이므로 OB′=OA+AB′로 쪼갤 수 있습니다.
STEP C최댓값 계산
OA=√(5²+12²)=√169=13이고 AB′은 반지름이므로 3입니다. 따라서 OB′=13+3=16이고, 선분 OB의 길이의 최댓값이 16이므로 구하는 a²+b²의 최댓값은 16²=256입니다.
1등급 다른 풀이 · 삼각함수 없이 매개변수로 처리하기
그림 없이 식만으로도 같은 답에 도달할 수 있습니다. 점 B가 원 위의 점이므로 a=5+3cosθ, b=12+3sinθ로 놓아 보세요.
그러면 a²+b²=(5+3cosθ)²+(12+3sinθ)²=25+144+9+30cosθ+72sinθ=178+(30cosθ+72sinθ)입니다. 여기서 30cosθ+72sinθ는 계수의 제곱합이 30²+72²=900+5184=6084=78²이므로 최댓값이 78입니다. 따라서 a²+b²의 최댓값은 178+78=256으로 같습니다.
이 풀이가 알려주는 것은 78=6×13, 즉 “2·OA·r” 구조입니다. 실제로 OB′²=(OA+r)²=OA²+r²+2·OA·r=169+9+78=256으로, 기하 풀이의 13+3과 정확히 같은 계산을 다른 옷을 입혀 한 것뿐입니다. 매개변수 풀이를 한 번 해 두면 왜 답이 (13+3)²인지가 식으로도 보입니다.
실수를 줄이는 전략
- 구하는 것이 거리인지 거리의 제곱인지를 문제에서 먼저 확인하세요. 이 문항의 함정은 16에서 멈추는 것입니다. a²+b²=OB²이므로 답은 256입니다.
- “두 점 사이의 거리가 일정하다”는 조건은 거의 항상 원입니다. 미지수가 두 개(a, b)인데 식이 하나뿐이면 값을 구하는 문제가 아니라 자취를 묻는 문제라고 판단하세요.
- 최댓값은 OA+r, 최솟값은 |OA−r|입니다. 이 문항에서 최솟값을 물었다면 13−3=10, 즉 100이 됩니다. 두 개를 한 세트로 외워 두면 변형 문제에 그대로 대응됩니다.
- OA를 구할 때 5, 12, 13 피타고라스 수를 놓치고 √169를 계산기처럼 다시 두드리는 일이 잦습니다. (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25)는 좌표 문제에서 반복 등장하니 반사적으로 나와야 합니다.
- 원점이 원의 내부에 있는 경우도 대비하세요. OA<r이면 최솟값 위치가 반대편으로 바뀝니다. 이 문항은 OA=13>3=r이라 원점이 원 밖에 있으므로 위의 공식이 그대로 적용됩니다.
엄선된 풀이 영상
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