TOUGH
최다빈출 · 왕중요
원의 방정식 일반형
두 원 위의 점 사이의 거리
최댓값
출제의도
앞 문항(0468)이 ‘정점 ↔ 원 위의 점’이었다면, 이 문항은 그것을 한 단계 확장한 ‘원 위의 점 ↔ 원 위의 점’입니다. 두 점이 동시에 움직이므로 막막해 보이지만, 실제로는 같은 원리를 두 번 겹쳐 쓰는 것에 불과합니다. 두 중심을 잇는 직선을 그리는 순간 최댓값의 위치가 확정됩니다.
여기에 계산 관문이 하나 더 붙어 있습니다. 두 번째 원이 x²+y²−6x+4y+4=0이라는 일반형으로 주어져 있어, 완전제곱으로 표준형을 만들어야 중심과 반지름을 읽을 수 있습니다. 이 변형에서 상수항을 이항하는 과정이 이 문항의 실제 오답 발생 지점입니다. 발상은 쉽고 계산에서 갈리는, 전형적인 최다빈출 유형입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 점 A, B가 모두 움직인다고 겁먹지 마세요. 원 위의 점은 결국 ‘중심에서 반지름만큼 떨어진 점’일 뿐입니다. 먼저 두 원의 중심과 반지름 네 가지 정보를 정확히 뽑아내세요. 두 번째 원은 일반형이므로 x에 대해, y에 대해 각각 완전제곱꼴로 묶어 표준형 (x−a)²+(y−b)²=r²로 고쳐야 합니다.
정보를 다 뽑았다면 좌표평면에 두 원을 대충 그리고, 선분 AB가 가장 길어지려면 A와 B가 각각 어느 쪽에 있어야 할지 눈으로 확인해 보세요. 두 중심을 잇는 직선이 핵심 보조선입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
두 원의 중심을 C₁, C₂, 반지름을 r₁, r₂라 하면 AC₁=r₁, BC₂=r₂가 항상 성립합니다. 삼각부등식을 두 번 쓰면 AB ≤ AC₁+C₁C₂+C₂B = r₁+d+r₂ (단, d=C₁C₂)이고, 등호는 네 점이 A−C₁−C₂−B 순서로 한 직선 위에 놓일 때입니다.
따라서 실제 계산은 두 중심 사이의 거리 d 하나뿐입니다. d를 구한 뒤 두 반지름을 더하세요. 근호가 정리되지 않는 형태(√5)로 남는 것이 정상이니, 선택지 형태와 대조해 확인하면 됩니다.
정답 확인
정답 ④ 5+√5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 원의 중심과 반지름 확정
원 ① — (x−2)²+y²=4는 이미 표준형입니다. 중심 C₁(2, 0), 반지름 r₁=2
원 ② — x²+y²−6x+4y+4=0을 정리하면 (x²−6x+9)+(y²+4y+4)=−4+9+4, 즉 (x−3)²+(y+2)²=9입니다. 중심 C₂(3, −2), 반지름 r₂=3
완전제곱을 만들며 더한 9와 4를 우변에도 똑같이 더해야 한다는 점이 이 단계의 전부입니다.
STEP B두 중심 사이의 거리 d 계산
d = C₁C₂ = √((3−2)²+(−2−0)²) = √(1+4) = √5
√5 ≈ 2.24이고 r₁+r₂=5, |r₁−r₂|=1이므로 1<d<5, 즉 두 원은 서로 다른 두 점에서 만납니다. 이 점검은 최솟값을 물었을 때 곧바로 필요해집니다.
STEP C선분 AB의 최댓값 확정
A, C₁, C₂, B가 이 순서로 한 직선 위에 놓일 때 AB가 최대가 되고, 그 값은 (두 중심 사이의 거리)+(두 반지름의 합)입니다. 따라서
AB의 최댓값 = √5+2+3 = 5+√5 → 정답 ④
1등급 다른 풀이 · 최솟값까지 함께 장악하기
이 유형은 최댓값만 묻고 끝나지 않습니다. 최솟값 버전이 변형 문제로 자주 따라 나오므로, 세 가지 위치 관계를 묶어서 기억해 두는 편이 효율적입니다.
두 원이 떨어져 있을 때(d > r₁+r₂) 선분 AB의 최솟값은 d−(r₁+r₂)이고, 만나거나 겹칠 때(d ≤ r₁+r₂)는 두 원 위에서 같은 점을 잡거나 서로 가까운 쪽 점을 잡을 수 있으므로 최솟값이 0입니다. 이 문항은 d=√5 < 5이므로 최솟값을 물었다면 답은 0이 됩니다. 반면 최댓값은 위치 관계와 무관하게 항상 d+r₁+r₂라는 점이 중요합니다. 한 원이 다른 원 내부에 완전히 들어가 있어도 이 공식은 그대로 성립합니다.
정리하면 최댓값 공식은 무조건 쓸 수 있지만 최솟값 공식은 위치 관계 판정이 선행되어야 한다는 것이, 이 유형에서 등급을 가르는 지점입니다.
실수를 줄이는 전략
- 일반형 → 표준형 변형에서 상수 이항이 최대 함정입니다. x²−6x는 (x−3)²−9, y²+4y는 (y+2)²−4이므로 우변은 −4+9+4=9가 되어야 합니다. 반지름을 √4=2로 잘못 읽으면 답이 ③ 5+√2 쪽으로 흘러갑니다.
- 중심 좌표의 부호를 (x−3)²+(y+2)²에서 (3, −2)로 읽으세요. (3, 2)로 읽으면 d=√(1+4)가 아니라 √(1+4)로 우연히 같아 보이는 경우도 있어 더 위험합니다. 항상 괄호 안 부호를 뒤집어 읽는다고 소리 내어 확인하세요.
- 최댓값은 d+r₁+r₂이지 d+r₁ 또는 두 반지름 중 큰 것만 더하는 것이 아닙니다. 그림에서 A와 B가 서로 반대 방향 바깥쪽에 놓인다는 사실을 그림으로 확인하고 넘어가세요.
- √5를 임의로 유리화하거나 근삿값으로 바꾸지 마세요. 선택지가 5+√5, 2+√5처럼 근호를 남긴 형태이므로 정리된 그대로 대조하는 것이 빠릅니다.
- 두 원이 만나는지 여부를 습관적으로 한 줄 적어두세요. 이 문항에서는 답에 영향을 주지 않지만, 최솟값을 묻는 변형 문항에서는 이 한 줄이 정답과 오답을 가릅니다.
엄선된 풀이 영상
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