TOUGH
최다빈출 · 왕중요
기울기가 주어진 접선
원의 넓이 이등분
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 조건 두 개를 각각 식 한 줄로 번역할 수 있는지를 묻습니다. ‘원 O′의 넓이를 이등분한다’는 곧 ‘원 O′의 중심을 지난다’이고, ‘원 O에 접한다’는 ‘중심에서 직선까지의 거리가 반지름과 같다’입니다. 두 번역을 마치면 남는 것은 m에 대한 간단한 방정식뿐입니다.
최다빈출로 분류된 이유는 이 구조가 내신·모의고사에서 문구만 바꿔 반복되기 때문입니다. 두 원의 반지름이 똑같이 2로 주어져 있어 ‘어느 원에 접하고 어느 원을 이등분하는지’를 뒤바꾸기 쉽고, 마지막에 점 (√3, a)를 대입하는 단계가 하나 더 붙어 있어 직선을 완전히 확정한 뒤에 대입하는 순서를 지키는지도 함께 확인합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 ‘원의 넓이를 이등분하는 직선’이 무엇인지 떠올리세요. 원을 넓이가 같은 두 조각으로 자르려면 잘린 현이 지름이어야 하므로, 그 직선은 반드시 원의 중심을 지납니다.
원 O′: x²+(y−4)²=4의 중심은 (0, 4)입니다. 즉 직선 l은 점 (0, 4)를 지나고, 이는 l의 y절편이 4라는 뜻입니다. 기울기를 m이라 두면 직선이 y=mx+4 한 줄로 확정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
남은 조건은 이 직선이 원 O: x²+y²=4에 접한다는 것입니다. 접한다는 조건은 판별식으로도 되지만, 중심 (0, 0)에서 직선까지의 거리가 반지름 2라고 두는 편이 훨씬 짧습니다. y=mx+4를 mx−y+4=0으로 고쳐 거리 공식에 넣어보세요.
m²에 대한 식이 나오면 제곱근을 풀 때 m이 두 개 나옵니다. 문제가 기울기가 양수라고 못 박았으니 하나만 살아남습니다. 직선을 완전히 확정한 다음에야 점 (√3, a)를 대입하세요. 순서를 바꾸면 미지수가 둘인 채로 헤매게 됩니다.
정답 확인
정답 a = 7
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이 이등분 조건 → 직선의 y절편 확정
직선 l이 원 O′: x²+(y−4)²=4의 넓이를 이등분하므로 l은 O′의 중심 (0, 4)를 지나야 합니다. 기울기를 m이라 하면 l: y−4=m(x−0), 즉 y=mx+4 (일반형으로는 mx−y+4=0)입니다.
STEP B접선 조건 → 기울기 m 결정
원 O: x²+y²=4는 중심이 (0, 0), 반지름이 2입니다. l이 O에 접하려면 중심에서 l까지의 거리가 2여야 하므로
|4| ÷ √(m²+1) = 2 → 2=√(m²+1) → 4=m²+1 → m²=3 → m=±√3
기울기가 양수라는 조건에서 m=√3이므로 직선 l의 방정식은 y=√3x+4입니다.
STEP C점 (√3, a)를 대입해 a 구하기
직선 y=√3x+4가 점 (√3, a)를 지나므로 a=√3×√3+4=3+4=7입니다. 따라서 a=7입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선 공식과 30° 직각삼각형
기울기가 m인 접선 공식을 먼저 쓰는 방법도 있습니다. 원 x²+y²=4에 접하고 기울기가 m인 직선은 y=mx±2√(m²+1)이고, 이 직선의 y절편이 4여야 하므로 2√(m²+1)=4, 즉 m²=3에서 곧바로 m=√3을 얻습니다. 절편의 부호가 양수이므로 ± 중 +만 살아남는다는 점만 확인하면 됩니다.
더 짧게는 그림으로 끝낼 수도 있습니다. 직선은 점 (0, 4)를 지나고 원점에서의 거리가 2입니다. 원점, 점 (0, 4), 그리고 접점이 이루는 직각삼각형에서 빗변이 4, 한 변이 2이므로 이 직선이 y축과 이루는 각은 30°입니다. 따라서 x축과 이루는 각은 60°이고 기울기는 tan 60°=√3으로 확정됩니다. 계산 없이 각도만으로 답이 보이는 배치입니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘넓이를 이등분한다’는 문구는 중심을 지난다로 즉시 치환하세요. 원을 반으로 나누는 현은 지름뿐이라는 사실 하나로 조건이 좌표 한 점으로 바뀝니다.
- 두 원의 반지름이 모두 2라 역할이 헷갈립니다. 접하는 원은 O(원점 중심), 이등분되는 원은 O′(중심 (0, 4))입니다. 조건을 바꿔 넣으면 y절편이 0인 직선이 되어 답이 완전히 달라집니다.
- 접선 공식 y=mx±r√(m²+1)을 쓸 때 ±를 빠뜨리지 마세요. 이 문제처럼 절편의 부호가 조건으로 주어지면 하나만 남지만, 부호 조건이 없으면 두 직선을 모두 답해야 합니다.
- m=±√3에서 멈추지 말고 ‘기울기가 양수’라는 단서를 반드시 소비하세요. 문제에 등장한 모든 조건은 하나도 남김없이 쓰이도록 설계되어 있습니다.
- 점 (√3, a)는 맨 마지막에 대입합니다. 이 점을 미리 끌고 들어가면 m과 a가 뒤섞인 식이 되어 불필요하게 복잡해집니다.
엄선된 풀이 영상
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