TOUGH
최다빈출 · 왕중요
Ⅰ-03 원의 방정식 · 1등급을 위한 필독서
기울기가 주어진 접선
삼각형 넓이의 최댓값
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 원 위를 움직이는 점 P 때문에 넓이가 변하는 상황에서, 변하는 것과 변하지 않는 것을 분리할 수 있는지를 묻습니다. 두 점 A, B가 고정되어 있으므로 밑변 AB의 길이는 상수이고, 넓이가 최대가 되는 조건은 오직 높이가 최대일 때로 좁혀집니다. 이 한 문장을 세우는 순간 문제는 ‘점 P에서 직선 AB까지의 거리의 최댓값’이라는 익숙한 형태로 바뀝니다.
최다빈출·왕중요 표시가 붙은 이유는 이 구조가 내신과 모의고사에서 숫자만 바꿔 반복 출제되기 때문입니다. 접선을 이용하는 정공법과 ‘중심에서 직선까지의 거리 + 반지름’이라는 지름길, 두 가지를 모두 손에 익혀 두면 같은 유형을 몇 초 만에 처리할 수 있습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
삼각형 ABP에서 A, B는 고정, P만 원 위를 움직입니다. 밑변을 AB로 잡으면 AB의 길이는 계산해 두면 끝나는 상수이고, 넓이의 변화는 전적으로 높이 = 점 P와 직선 AB 사이의 거리가 결정합니다.
그렇다면 P가 어디에 있을 때 이 거리가 최대일까요? 그림을 그려 보면 P에서의 접선이 직선 AB와 평행해지는 순간, 그것도 AB에서 가장 먼 쪽에 있는 접점일 때입니다. 여기까지 정리했다면 ‘기울기가 주어진 접선의 방정식’ 공식을 꺼낼 차례입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
먼저 AB의 길이와 직선 AB의 기울기를 구하세요. A(4, 3), B(0, −5)이므로 기울기는 2가 나옵니다. 원 x²+y²=25의 반지름이 5이므로 기울기가 2인 접선은 y=2x±5√(2²+1)=y=2x±5√5 두 개이고, 그림에서 P가 있는 쪽은 x절편이 음수인 y=2x+5√5입니다.
이제 높이는 ‘점 B와 이 접선 사이의 거리’로 계산하면 됩니다(P와 직선 AB 사이의 거리와 같습니다). 마지막에 넓이 12×AB×(높이)를 정리해 a+b√5 꼴로 맞춘 뒤, a와 b를 각각 자연수로 정확히 분리하는 것이 마지막 관문입니다.
정답 확인
정답 20 (넓이의 최댓값 = 10+10√5, a=10, b=10)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A직선 AB에 평행한 접선의 방정식 구하기
직선 AB의 기울기는 3−(−5)4−0=2입니다. 원 x²+y²=25의 반지름이 5이므로 기울기가 2인 접선의 방정식은 y=2x±5√(2²+1), 즉 y=2x±5√5입니다. 삼각형의 넓이가 최대가 되는 것은 접점 P가 직선 AB에서 가장 먼 쪽에 있을 때이므로, x절편이 음수인 y=2x+5√5를 택합니다.
STEP B높이(= 두 평행선 사이의 거리) 구하기
점 P와 직선 AB 사이의 거리는, 두 직선이 평행하므로 직선 AB 위의 점 B(0, −5)와 접선 사이의 거리로 바꿔 계산할 수 있습니다. 접선을 2x−y+5√5=0으로 정리하면
|2·0−(−5)+5√5|√(2²+(−1)²)=5+5√5√5=√5+5
분모의 √5를 유리화할 때 5/√5=√5, 5√5/√5=5로 두 항을 각각 정리하면 실수가 줄어듭니다.
STEP C넓이의 최댓값과 a+b 계산
AB=√((0−4)²+(−5−3)²)=√80=4√5이므로 삼각형 ABP의 넓이의 최댓값은
12×4√5×(√5+5) = 2√5×√5 + 2√5×5 = 10+10√5
따라서 a=10, b=10이고 a+b=20입니다.
1등급 다른 풀이 · 중심에서의 거리 + 반지름
접선을 구하지 않고도 높이의 최댓값을 한 줄에 얻을 수 있습니다. 원 위의 점에서 어떤 직선까지의 거리의 최댓값은 언제나 (중심에서 그 직선까지의 거리) + (반지름)이기 때문입니다.
두 점 A(4, 3), B(0, −5)를 지나는 직선 AB의 방정식은 2x−y−5=0입니다. 원의 중심 (0, 0)에서 이 직선까지의 거리는 |−5|√(2²+(−1)²)=√5이므로, 높이의 최댓값은 √5+5입니다. STEP A·B를 통째로 건너뛰고 STEP C로 직행하는 셈입니다.
이 관점의 진짜 장점은 최솟값도 동시에 보인다는 점입니다. 거리의 최솟값은 |(중심까지의 거리)−(반지름)|이므로, 같은 그림에서 ‘넓이의 최솟값’을 묻는 변형이 나와도 즉시 대응할 수 있습니다.
내신연계 확장문항 · 숫자만 바꾼 쌍둥이 문제
해설지에 함께 실린 내신연계 출제문항 226번은 구조가 완전히 같고 숫자만 커진 문제입니다. 위 지름길로 스스로 처리해 보세요.
문제 — 원 x²+y²=100 위의 두 점 A(6, 8), B(0, −10)과 원 위를 움직이는 점 P에 대하여 삼각형 ABP의 넓이의 최댓값이 a+b√10일 때, 자연수 a, b에 대하여 a+b의 값을 구하시오.
확장문항 풀이 확인
직선 AB의 기울기는 8−(−10)6−0=3이고 반지름이 10이므로 접선은 y=3x±10√(3²+1)=y=3x±10√10, 이 중 x절편이 음수인 것은 y=3x+10√10입니다. 점 B(0, −10)과 이 직선 사이의 거리는 |10+10√10|√10=√10+10입니다.
AB=√((6−0)²+(8+10)²)=√360=6√10이므로 넓이의 최댓값은 12×6√10×(√10+10)=30+30√10입니다. 따라서 a=30, b=30이고 a+b=60입니다.
지름길로 풀면 직선 AB는 3x−y−10=0, 중심에서의 거리는 10/√10=√10, 높이 최댓값은 √10+10으로 한 줄에 끝납니다.
실수를 줄이는 전략
- 접선이 두 개(±) 나올 때 어느 쪽 접점이 답인지 반드시 그림으로 확정하세요. 직선 AB와 같은 쪽 접선을 택하면 높이가 최솟값이 되어 넓이가 √5−5 형태로 흘러갑니다.
- 높이를 구할 때 P의 좌표를 실제로 구하려 들지 마세요. 두 직선이 평행하므로 직선 AB 위의 아무 점(여기서는 B)과 접선 사이의 거리로 바꾸는 것이 훨씬 빠릅니다.
- 분모 유리화를 대충 하면 (5+5√5)/√5를 √5+5가 아니라 5+√5로 뒤집어 쓰기 쉽습니다. 항별로 나눠 정리하고, 근삿값(√5≈2.24)으로 한 번 검산하세요.
- 답을 a+b√5 꼴로 맞춘 뒤 a와 b를 혼동하지 않도록 주의하세요. 이 문항은 우연히 둘 다 10이라 안전하지만, 확장문항처럼 값이 다른 경우 순서를 바꿔 쓰면 그대로 오답입니다.
- AB의 길이는 √80을 4√5로 반드시 간단히 한 뒤 곱하세요. √80 상태로 √5를 곱하면 √400=20 같은 중간값이 나와 계산이 길어집니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.