최다빈출 · 왕중요
TOUGH
원과 직선의 위치관계
교점의 개수
경우 분류
출제의도
이 문항의 출발점은 계산이 아니라 사실 하나입니다. 원과 직선의 교점 개수는 0, 1, 2 중 하나뿐이라는 것. 이 사실을 알고 있으면 a+b=3을 만족하는 조합이 (1, 2)와 (2, 1) 둘밖에 없다는 것이 즉시 확정되고, 문제는 그때부터 두 번의 반복 계산으로 줄어듭니다. 반대로 이 사실을 놓치면 (0, 3)이나 (3, 0)까지 붙잡고 시간을 잃습니다.
진짜 난점은 그 다음입니다. 한 원에는 접한다(등식), 다른 원에는 두 점에서 만난다(부등식)는 조건이 동시에 걸립니다. 등식은 후보 k를 두 개씩 내놓고, 부등식은 구간을 내놓습니다. 후보를 구간에 넣어 걸러내는 검증 단계를 빠뜨리면 k가 네 개로 늘어나 합이 완전히 달라집니다. 조건을 ‘동시에’ 만족시킨다는 말을 계산으로 옮길 줄 아는지 묻는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
a와 b는 각각 직선과 원의 교점 개수이므로 아무 값이나 될 수 없습니다. 가능한 값은 0, 1, 2뿐입니다. 그러면 a+b=3이 되는 순서쌍 (a, b)는 몇 가지인지 먼저 적어보세요.
그리고 두 원의 반지름을 확인해 두세요. 둘 다 √5로 같고, 직선도 하나뿐입니다. 즉 매번 새로 계산하는 것이 아니라 중심만 바꿔 넣는 반복 구조라는 점을 알고 시작하면 훨씬 빠릅니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
교점이 1개면 접하는 것이므로 (중심에서 직선까지의 거리)=√5, 교점이 2개면 (거리)<√5입니다. 두 경우 각각에서 등식을 먼저 풀어 후보 k 두 개를 얻고, 부등식으로 걸러내는 순서로 진행하세요. 등식은 절댓값 방정식이라 근이 둘, 부등식은 구간을 주므로 보통 후보 하나만 살아남습니다.
거리 계산에서 분모는 √(1²+2²)=√5로 두 원 모두 같으므로, 실제로 바뀌는 것은 분자뿐입니다. 중심 (2, 0)을 넣으면 |2−k|, 중심 (−2, −2)를 넣으면 |−6−k|입니다. 이 두 식만 정확히 만들어 두면 나머지는 절댓값 부등식 처리입니다. 마지막에 묻는 것은 k 하나가 아니라 모든 k의 합이라는 점을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ① 모든 실수 k의 값의 합 = −4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Aa+b=3이 되는 경우 분류
원과 직선의 교점의 개수는 0, 1, 2 중 하나입니다. (반지름)<(중심에서 직선까지의 거리)면 0개, 같으면 1개, (반지름)>(거리)면 2개입니다. 따라서 음이 아닌 정수 a, b에 대해 a+b=3인 경우는
( i ) a=1, b=2 또는 ( ii ) a=2, b=1
두 가지뿐입니다. 두 원 (x−2)²+y²=5, (x+2)²+(y+2)²=5의 중심은 각각 (2, 0), (−2, −2)이고 반지름은 모두 √5입니다.
STEP B( i ) a=1, b=2인 경우
첫째 원에 접함 — |2−k|/√5 = √5에서 |2−k|=5이므로 k=−3 또는 k=7
둘째 원과 두 점에서 만남 — |−2−4−k|/√5 < √5에서 |−6−k|<5, 즉 −11<k<−1
두 조건을 동시에 만족하는 값은 k=−3입니다. (k=7은 −11<k<−1을 벗어나므로 탈락)
STEP C( ii ) a=2, b=1인 경우
첫째 원과 두 점에서 만남 — |2−k|/√5 < √5에서 |2−k|<5, 즉 −3<k<7
둘째 원에 접함 — |−6−k|/√5 = √5에서 |−6−k|=5이므로 k=−11 또는 k=−1
두 조건을 동시에 만족하는 값은 k=−1입니다. (k=−11은 −3<k<7을 벗어나므로 탈락)
STEP D모든 k의 합 구하기
( i ), ( ii )에서 조건을 만족하는 k는 −3과 −1이므로 그 합은 −3+(−1)=−4이고, 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · k를 수직선 위의 위치로 보기
직선 x+2y−k=0에서 k는 직선을 평행이동시키는 매개변수입니다. 어떤 점 (x₀, y₀)에서 이 직선까지의 거리는 |x₀+2y₀−k|/√5이므로, 각 중심을 대입한 값 x₀+2y₀를 그 중심에 대응하는 k값으로 생각할 수 있습니다. 중심 (2, 0)은 2, 중심 (−2, −2)는 −6입니다.
이렇게 보면 조건이 수직선 하나로 정리됩니다. 반지름이 √5이므로 거리 조건은 |k−(대응값)|와 5의 비교가 되고, 첫째 원은 k=2를 중심으로 반지름 5짜리 구간, 둘째 원은 k=−6을 중심으로 반지름 5짜리 구간을 만듭니다.
첫째 원 — k=−3, 7에서 접함 / −3<k<7에서 두 점
둘째 원 — k=−11, −1에서 접함 / −11<k<−1에서 두 점
접하는 k 후보 네 개(−3, 7, −11, −1)를 수직선 위에 찍고, 각각이 다른 원의 구간 안에 들어가는지만 눈으로 확인하면 끝입니다. −3은 (−11, −1) 안에 있으므로 통과, 7은 밖이라 탈락, −1은 (−3, 7) 안에 있으므로 통과, −11은 밖이라 탈락. 부등식을 다시 풀지 않고 그림 한 장으로 −3+(−1)=−4가 나옵니다.
실수를 줄이는 전략
- 교점 개수가 0, 1, 2뿐이라는 전제부터 적고 시작하세요. 이 한 줄이 없으면 a+b=3의 경우가 네 가지로 보여 문제가 두 배로 길어집니다.
- 등식과 부등식을 짝지어 기억하세요. 한 점(접함)은 =, 두 점은 <입니다. 접할 때를 부등식으로 처리하면 후보 자체가 나오지 않습니다.
- 등식에서 나온 후보는 반드시 다른 조건에 대입해 검증하세요. 이 문항에서 걸러지는 k=7과 k=−11을 남겨두면 합이 −4가 아니라 −8이 됩니다.
- 중심 (−2, −2)를 대입할 때 부호 처리에 주의합니다. −2+2×(−2)−k = −6−k이므로 절댓값 안은 |−6−k|, 즉 |k+6|입니다. 여기서 부호를 놓치면 구간이 통째로 어긋납니다.
- 답은 특정한 k 하나가 아니라 모든 k의 합입니다. −3이나 −1 하나만 쓰면 선택지 ②나 ③으로 유도됩니다. 문장 마지막을 다시 읽는 습관이 안전합니다.
엄선된 풀이 영상
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