최다빈출 · 왕중요
TOUGH
세 점을 지나는 원
원과 직선의 위치관계
점과 직선 사이의 거리
출제의도
이 문항은 원의 방정식 단원의 두 축을 하나로 이어 붙인 결합형입니다. 앞부분은 세 점을 지나는 원 구하기, 뒷부분은 원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 조건이고, 앞에서 구한 중심과 반지름이 뒤의 부등식 재료가 됩니다. 두 도구 중 하나만 알아도 답이 나오지 않도록 설계된, 그래서 ‘최다빈출·왕중요’가 붙은 문항입니다.
계산 자체는 짧지만 마지막 한 단어에서 갈립니다. 부등식을 풀면 −5<k<5가 나오는데, 문제가 요구하는 것은 실수가 아니라 자연수 k의 최댓값입니다. 범위를 정확히 구하고도 경계값 5를 답으로 쓰거나, 부등호를 등호 포함으로 잘못 두면 그대로 오답이 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
세 점을 지나는 원은 x²+y²+Ax+By+C=0으로 두고 세 점을 대입하는 것이 정석입니다. 이 문제는 세 점 중 하나가 원점이라 첫 대입에서 C=0이 바로 나오고, 나머지 두 점이 각각 x축·y축 위에 있어 A와 B도 한 줄씩 만에 결정됩니다. 미지수 세 개짜리 연립이 아니라 사실상 대입 세 번입니다.
그리고 세 점 (0, 0), (4, 0), (0, 2)의 위치를 그림으로 한 번 찍어보세요. 원점에서 만나는 두 변이 x축과 y축이라는 사실이 뒤에 나올 다른 풀이의 열쇠가 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
일반형으로 구한 원을 반드시 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 확보하세요. 원과 직선의 위치관계는 판별식으로도 되지만, 중심과 반지름을 알고 있으면 ‘중심과 직선 사이의 거리’와 반지름을 비교하는 쪽이 훨씬 빠릅니다.
서로 다른 두 점에서 만난다는 조건은 (중심에서 직선까지의 거리) < (반지름)입니다. 접할 때가 등호라는 점을 기억하면 부등호 방향과 등호 포함 여부에서 헷갈리지 않습니다. 거리 계산에서 분모는 √(1²+(−2)²)이고, 중심을 대입하면 분자의 상수항끼리 상쇄되어 식이 아주 간단해집니다. 마지막에 자연수라는 조건을 잊지 말고 적용하세요.
정답 확인
정답 자연수 k의 최댓값 = 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A세 점을 지나는 원의 방정식 구하기
구하는 원을 x²+y²+Ax+By+C=0으로 놓습니다.
(0, 0) 대입 — C=0, 즉 x²+y²+Ax+By=0
(4, 0) 대입 — 16+4A=0에서 A=−4
(0, 2) 대입 — 4+2B=0에서 B=−2
따라서 x²+y²−4x−2y=0이고, 완전제곱 꼴로 고치면 (x−2)²+(y−1)²=5입니다. 중심은 (2, 1), 반지름은 √5입니다.
STEP B서로 다른 두 점에서 만날 조건으로 k의 범위 구하기
중심 (2, 1)과 직선 x−2y+k=0 사이의 거리는
|2−2×1+k| / √(1²+(−2)²) = |k| / √5
원과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면 이 거리가 반지름보다 작아야 하므로
|k|/√5 < √5 → |k| < 5 → −5 < k < 5
이 범위에 속하는 자연수는 1, 2, 3, 4이므로 최댓값은 4입니다.
1등급 다른 풀이 · 직각삼각형의 외접원으로 읽기
STEP A의 미정계수법을 통째로 건너뛸 수 있습니다. 세 점 (0, 0), (4, 0), (0, 2)로 만들어지는 삼각형은 원점에서 x축과 y축이 만나므로 직각삼각형이고, 직각삼각형의 외접원의 중심은 언제나 빗변의 중점입니다.
빗변은 두 점 (4, 0), (0, 2)를 잇는 변이므로 중심은 그 중점인 (2, 1)이고, 반지름은 중심에서 원 위의 한 점 (4, 0)까지의 거리 √((2−4)²+(1−0)²)=√5입니다. 대입도 연립도 없이 두 줄로 (x−2)²+(y−1)²=5가 나옵니다.
외심의 성질(세 꼭짓점까지의 거리가 같다)을 그대로 쓰는 방법도 있습니다. 중심을 P(a, b)로 두고 AP²=BP²=CP²를 세우면 각각 a=2, b=1이 나오는데, 이때도 제곱한 상태로 다루어 루트를 아예 등장시키지 않는 것이 계산 사고를 줄이는 요령입니다.
실수를 줄이는 전략
- 일반형에서 멈추지 마세요. x²+y²−4x−2y=0 상태로는 중심도 반지름도 보이지 않습니다. 위치관계 문제는 표준형 전환이 사실상 첫 단추입니다.
- 부등호 방향을 그림으로 기억하세요. 거리<반지름이면 두 점, 거리=반지름이면 접함(한 점), 거리>반지름이면 만나지 않습니다. ‘두 점’은 등호가 빠진 <입니다.
- 거리 공식의 분모는 직선의 계수로 만듭니다. x−2y+k=0에서 √(1²+(−2)²)=√5이며, √(1²+2²)로 착각해도 값은 같지만 계수 부호를 분자에서 틀리면 결과가 달라집니다.
- |k|<5에서 k=5는 포함되지 않습니다. 이때는 접하므로 교점이 한 개입니다. 경계값을 답으로 쓰는 실수가 이 유형에서 가장 흔합니다.
- 마지막 단어를 다시 읽으세요. 자연수는 양의 정수이므로 −4나 0은 후보가 아니고, ‘최댓값’이므로 개수 4개와 혼동하지 않도록 주의합니다.
엄선된 풀이 영상
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