TOUGH
Ⅰ-03 원의 방정식
표준형 변환
접선의 길이
피타고라스 정리
출제의도
이 문항은 ‘원이 직선에 접한 채로 미끄러져 간다’는 움직이는 상황을 고정된 직각삼각형 하나로 번역할 수 있는지를 묻습니다. 주어진 일반형 x²+y²+4x−2y+1=0을 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 얻는 계산은 기본기에 해당하고, 실제 관문은 점 P와 점 Q가 모두 직선 y=(3/4)x 위의 점이며, 중심에서 접점 Q로 그은 선분이 그 직선과 수직이라는 사실을 알아채는 데 있습니다.
TOUGH로 분류된 이유는 계산이 무거워서가 아니라 그림에 끌려가기 쉬운 문제이기 때문입니다. 원이 굴러가는 그림을 보면 호의 길이나 중심의 이동거리를 떠올리기 쉽지만, 문제가 묻는 PQ는 직선 위 두 접점 사이의 거리, 즉 점 P에서 멈춘 원에 그은 접선의 길이일 뿐입니다. 움직임을 지우고 마지막 상태만 남겨 놓는 관점 전환이 이 문항의 전부입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 멈춘 원의 방정식을 표준형으로 고치세요. x²+4x는 (x+2)²−4, y²−2y는 (y−1)²−1이므로 중심과 반지름이 곧바로 보입니다.
그다음 Q가 어떤 점인지 정확히 말해 보세요. Q는 원과 직선 y=(3/4)x의 접점이므로, 중심에서 직선에 내린 수선의 발이고 따라서 중심–Q–P를 이은 삼각형은 Q에서 직각입니다. P도 직선 위의 점이라는 사실을 함께 쓰면 그림 속 곡선은 전부 지워도 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
중심을 C라 할 때 CQ는 접점까지의 거리이므로 반지름과 같습니다. CP는 두 점 사이의 거리 공식으로 바로 구할 수 있고, 직각삼각형 CQP에서 빗변은 CP입니다.
따라서 PQ² = CP² − CQ² 한 줄이면 끝납니다. 여기서 CP를 구할 때 루트를 미리 계산해 근삿값으로 두지 말고 CP²의 값 그대로 들고 가면 마지막에 완전제곱수가 나와 계산이 깔끔해집니다.
정답 확인
정답 ⑤ PQ = 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A원의 방정식을 표준형으로 고쳐 중심과 반지름 구하기
x²+y²+4x−2y+1=0에서 (x+2)²+(y−1)²=4이므로 중심은 C(−2, 1), 반지름의 길이는 2입니다. Q는 이 원과 직선의 접점이므로 CQ=2입니다.
STEP B두 점 C, P 사이의 거리 구하기
CP=√{(4+2)²+(3−1)²}=√(36+4)=√40=2√10입니다. 즉 CP²=40입니다.
STEP C직각삼각형 CQP에서 피타고라스 정리 적용
접점에서 그은 반지름은 접선과 수직이므로 삼각형 CQP는 Q가 직각인 직각삼각형입니다. 따라서 PQ²=CP²−CQ²=40−4=36이고, PQ=6입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선의 길이로 한 줄에 끝내기
직선 y=(3/4)x는 멈춘 원에 접하고 그 접점이 Q입니다. 그런데 P도 이 직선 위의 점이므로, PQ는 곧 점 P에서 원 (x+2)²+(y−1)²=4에 그은 접선의 길이입니다. 원 밖의 점에서 그은 접선의 길이는 √(d²−r²)(d는 중심까지의 거리)이므로 √(40−4)=6이 즉시 나옵니다. 문제를 ‘움직이는 원’이 아니라 ‘한 점에서 원에 그은 접선’으로 읽는 순간, 그림은 더 이상 필요하지 않습니다.
좌표로 직접 확인해도 좋습니다. 직선을 3x−4y=0으로 두면 C(−2, 1)에서의 거리는 |−6−4|/5=2로 반지름과 같아 접한다는 것이 재확인되고, 수선의 발을 구하면 Q(−4/5, −3/5)입니다. P(4, 3)과의 거리는 √{(24/5)²+(18/5)²}=√(900)/5=6으로 같은 답이 나옵니다. 계산량은 늘지만 Q의 위치가 그림과 맞는지 검산하는 용도로 유용합니다.
실수를 줄이는 전략
- 표준형 변환에서 상수 처리를 서두르지 마세요. −4−1+1=−4이므로 우변이 4가 되어 반지름은 2입니다. 여기서 부호를 놓치면 반지름을 4나 √5로 잘못 잡고 이후 모든 계산이 어긋납니다.
- ‘움직인다’는 표현에 끌려 호의 길이나 중심의 이동거리를 구하지 않도록 하세요. 묻는 것은 직선 위 두 점 P, Q 사이의 거리입니다.
- 직각의 위치를 확정하고 시작하세요. 직각은 접점 Q에 있고 빗변은 CP입니다. 직각을 P에 있다고 착각하면 PQ²=CP²+CQ²가 되어 √44라는 보기에 없는 값이 나옵니다.
- CP는 루트를 씌운 채 두지 말고 CP²=40으로 들고 가세요. 마지막에 36이라는 완전제곱수가 나와 근삿값 계산이 아예 필요 없습니다.
- 마지막에 PQ²=36에서 멈추지 마세요. 답은 6이며, 36을 그대로 적으면 보기에 없어 다시 돌아오게 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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