TOUGH
2020년 11월 고1 학력평가 17번
점과 직선 사이의 거리
활꼴의 넓이
빈칸 추론
출제의도
이 문항은 원과 직선이 잘라낸 활꼴의 넓이를 구하는 과정을 빈칸으로 비워 둔 추론형 문항입니다. 활꼴은 ‘부채꼴에서 삼각형을 뺀 것’이라는 구조만 알면 계산 자체는 어렵지 않은데, 반지름이 구체적인 수가 아니라 문자 r로 주어져 있다는 점이 체감 난도를 끌어올립니다.
핵심은 직선의 상수항이 √6 r로 r에 비례한다는 설계입니다. 그래서 원점에서 직선까지의 거리를 계산해 보면 r이 그대로 살아남아 OH = (√3/2)r이 되고, 반지름과 거리의 비가 r에 관계없이 고정됩니다. 결국 그림 전체가 r의 값과 무관하게 같은 모양이 되어 ∠AOB가 60°로 확정되는 것이 이 문항의 급소입니다. 마지막 f(1/k)×g(1/k)는 k=1/6의 역수를 대입해야 한다는 형식적인 함정까지 얹은 마무리입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
(가)는 원점 O에서 직선 l : 2x−2y+√6 r=0까지의 거리입니다. 공식에 그대로 대입하되 분모의 √(2²+(−2)²)=√8을 2√2로 정리한 뒤 약분하는 것이 관건입니다. 정리하고 나면 r 앞에 남는 계수가 무엇인지 확인해 보세요.
OH가 반지름 r의 몇 배인지 눈에 들어오면 그다음이 쉬워집니다. OA=OB=r인 이등변삼각형에서 꼭짓점 O에서 밑변 AB에 내린 수선이 곧 OH이므로, 직각삼각형 AHO 하나만 있으면 AH를 r로 나타낼 수 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
직각삼각형 AHO에서 AH² = OA² − OH²로 AH를 구하고, H가 AB의 중점이므로 AB = 2AH임을 이용하세요. 여기서 AB의 길이가 반지름과 어떤 관계인지 확인하면 삼각형 OAB의 정체가 드러납니다. 세 변이 모두 같다면 (나)에 들어갈 넓이는 한 변이 r인 정삼각형의 넓이 공식을 그대로 쓰면 됩니다.
삼각형이 정삼각형이면 ∠AOB가 몇 도인지 즉시 결정되고, 그 각을 360°로 나눈 값이 (다)입니다. 마지막 계산에서는 f와 g가 각각 (가)와 (나)의 식이라는 점, 그리고 대입하는 값이 k가 아니라 1/k라는 점을 반드시 확인한 뒤 숫자를 넣으세요.
정답 확인
정답 ⑤ f(1/k) × g(1/k) = 81
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A(가) — OH를 r로 나타내기
점 O(0, 0)에서 직선 2x−2y+√6 r=0까지의 거리이므로
OH = |√6 r| ÷ √(2²+(−2)²) = √6 r / √8 = (√3/2) r ⟹ (가)
r>0이므로 절댓값은 그대로 벗겨지고, √6/√8 = √(6/8) = √3/2로 정리됩니다.
STEP B(나) — 삼각형 OAB가 정삼각형임을 확인
OA=OB=r(반지름)이고, 직각삼각형 AHO에서 AH² = OA² − OH² = r² − (3/4)r² = (1/4)r²이므로 AH = r/2입니다. H가 현 AB의 중점이므로 AB = 2AH = r이 되어 삼각형 OAB는 세 변의 길이가 모두 r인 정삼각형입니다.
삼각형 OAB의 넓이 = (√3/4) r² ⟹ (나)
밑변×높이로 계산해도 같습니다. (1/2) × AB × OH = (1/2) × r × (√3/2)r = (√3/4)r².
STEP C(다) — 부채꼴에서 삼각형을 빼기
삼각형 OAB가 정삼각형이므로 ∠AOB=60°입니다. 원점을 포함하지 않는 부분(활꼴)의 넓이는 부채꼴 OAB에서 삼각형 OAB를 뺀 것이므로
S(r) = πr² × (60°/360°) − (√3/4)r² = πr² × (1/6) − (√3/4)r² ⟹ (다) = 1/6
STEP Df(1/k) × g(1/k) 계산
f(r) = (√3/2)r, g(r) = (√3/4)r², k = 1/6이므로 1/k = 6입니다. 따라서
f(6) × g(6) = ((√3/2)×6) × ((√3/4)×6²) = 3√3 × 9√3 = 27 × 3 = 81입니다.
1등급 다른 풀이 · 각도를 먼저 읽어내기
피타고라스 정리를 쓰지 않아도 STEP B는 한 줄로 끝납니다. 직각삼각형 AHO에서 빗변이 OA=r, 밑변이 OH=(√3/2)r이므로 OH : OA = √3 : 2입니다. 이는 30°−60°−90° 삼각형의 변의 비이므로 ∠AOH=30°이고, OH가 ∠AOB를 이등분하므로 ∠AOB=60°가 곧바로 확정됩니다. 각이 60°인 이등변삼각형은 자동으로 정삼각형이므로 AB=r도 함께 따라옵니다.
더 근본적으로는 닮음으로 볼 수 있습니다. 직선의 방정식 2x−2y+√6 r=0에서 상수항이 r에 비례하므로, r을 두 배로 키우면 원도 직선도 원점을 중심으로 두 배 확대된 그림이 됩니다. 즉 r이 무엇이든 그림의 모양은 항상 같고 각도는 변하지 않습니다. 그래서 (다)는 r이 들어가지 않는 순수한 상수 1/6이고, S(r)은 r²에 비례하는 형태 (π/6 − √3/4)r²이 될 수밖에 없습니다.
이 관점을 갖고 있으면 빈칸의 형태를 미리 예측할 수 있습니다. (가)는 길이이므로 r의 1차식, (나)는 넓이이므로 r²의 상수배, (다)는 각의 비율이므로 순수한 수 — 이 차원 감각만으로도 선택지 대부분이 걸러집니다.
실수를 줄이는 전략
- 거리 공식의 분모 √8을 그대로 두지 말고 2√2로 정리한 뒤 유리화하세요. √6/√8은 √3/2로 딱 떨어지는데, 정리하지 않으면 이후 계산이 지저분해져 정삼각형이라는 구조가 보이지 않습니다.
- (다)에 들어갈 값은 중심각 60이 아니라 60/360 = 1/6입니다. 문제의 식이 πr²×(다) 꼴이라는 것을 보고 무엇이 들어가야 하는지 형태로 판단하세요.
- 대입하는 값은 k가 아니라 1/k입니다. k=1/6을 그대로 넣어 f(1/6)을 계산하면 완전히 다른 답이 나옵니다. 역수를 취해 6을 대입한다는 점을 계산 시작 전에 한 번 더 확인하세요.
- 구하는 영역은 원점을 포함하지 않는 쪽입니다. 부채꼴에서 삼각형을 빼는 것이지, 삼각형에서 부채꼴을 빼거나 원에서 부채꼴을 빼는 것이 아닙니다.
- 마지막 계산에서 (√3)²=3 처리를 서두르지 마세요. 3√3 × 9√3 = 27 × 3 = 81인데, √3을 하나만 처리해 27√3으로 답하는 실수가 잦습니다.
엄선된 풀이 영상
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