TOUGH
2021년 09월 고1 학력평가 17번
현과 수선의 발
점과 직선 사이의 거리
x축에 접하는 원
출제의도
이 문항은 원 위에 그어진 두 개의 현을 다룹니다. 하나는 y축 위의 현 QR이고 다른 하나는 기울기가 2인 직선 위의 현 PS인데, 둘의 길이가 모두 4로 같다는 것이 조건의 전부입니다. 좌표를 하나하나 구하려 들면 미지수가 늘어나 손을 대기 어렵고, 현의 길이는 중심에서 그 현까지의 거리로 결정된다는 원리를 알고 있어야 두 줄로 정리됩니다.
여기에 ‘중심이 제1사분면에 있고 x축과 점 P에서 접한다’는 문장을 좌표로 옮기는 능력이 함께 요구됩니다. 중심을 C(a, b)로 두는 순간 접점은 P(a, 0), 반지름은 b로 확정되어 미지수가 두 개로 줄어듭니다. 조건도 두 개(QR=4, PS=4)이므로 개수가 맞아떨어진다는 점을 계산 전에 확인하는 것이 이 문항의 출발선입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
중심을 C(a, b) (a>0, b>0)로 놓으세요. 원이 x축과 점 P에서 접하므로 중심에서 x축까지의 거리가 곧 반지름입니다. 즉 P(a, 0), 반지름 = b입니다. 그림에 이 세 정보를 먼저 적어두면 남은 미지수는 a와 b 둘뿐입니다.
다음으로 QR와 PS가 모두 ‘원의 현’이라는 점에 주목하세요. 현이 등장하면 반사적으로 중심에서 현에 수선을 내려야 합니다. 수선의 발은 현의 중점이 되므로 길이 4인 현은 곧 반현 2로 바뀝니다. 여기에 ‘길이가 같은 두 현은 중심에서 같은 거리에 있다’는 성질을 얹으면 두 조건이 하나로 묶입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
중심 C에서 y축과 직선 PS에 내린 수선의 발을 각각 H, M이라 하면 CH는 중심에서 y축까지의 거리이므로 그대로 a입니다. QR=PS이므로 CM도 a가 되어야 합니다. 한편 직선 PS는 P(a, 0)을 지나고 기울기가 2이므로 일반형으로 정리하면 2x−y−2a=0이고, 여기에 점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰면 CM을 a, b로 나타낼 수 있습니다. 이 식을 CM=a와 연결하면 b와 a 사이의 관계식 하나가 나옵니다.
관계식이 하나 더 필요합니다. 직각삼각형 CPM을 보세요. CP는 반지름이고 PM은 반현 2이므로 피타고라스 정리로 두 번째 식이 만들어집니다. 두 식을 연립해 a를 먼저 구한 뒤, 문제가 최종적으로 묻는 것이 반지름이 아니라 원점 O와 중심 C 사이의 거리임을 잊지 말고 마무리하세요.
정답 확인
정답 ① √6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A중심·반지름 설정과 현의 이등분
중심을 C(a, b) (a>0, b>0)라 하면 원이 x축과 점 P에서 접하므로 P(a, 0)이고 반지름은 b입니다. 중심에서 y축, 직선 PS에 내린 수선의 발을 각각 H, M이라 하면 수선의 발은 현의 중점이므로 PS=4에서 PM = 2입니다. 또 QR=PS=4로 두 현의 길이가 같으므로 중심에서 두 현까지의 거리도 같아 CH = CM = a입니다.
STEP B점과 직선 사이의 거리로 관계식 만들기
P(a, 0)을 지나고 기울기가 2인 직선 PS의 방정식은 y−0=2(x−a), 즉 2x−y−2a=0입니다. CM은 점 C(a, b)에서 이 직선까지의 거리이므로
CM = |2a−b−2a| ÷ √(2²+(−1)²) = b/√5 = a (∵ b>0) ⟹ b = √5 a ······ ㉠
STEP C피타고라스 정리로 a, b 확정
직각삼각형 CPM에서 CP² = CM² + PM²이고 CP는 반지름 b, CM=a, PM=2이므로 b² = a² + 4 ······ ㉡입니다. ㉠을 ㉡에 대입하면 5a² = a² + 4, 4a² = 4, a² = 1이므로 a>0에서 a=1이고 b=√5입니다.
따라서 중심은 C(1, √5)이고 원점과의 거리는 OC = √(1² + (√5)²) = √6입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 현을 따로따로 처리하기
‘길이가 같은 두 현은 중심에서 등거리에 있다’는 성질이 떠오르지 않아도 됩니다. 각 현마다 (반현)² + (중심까지의 거리)² = (반지름)²이라는 직각삼각형 하나씩만 세우면 그대로 끝납니다.
y축 위의 현 QR는 중심에서의 거리가 a, 반현이 2, 반지름이 b이므로 a² + 2² = b²입니다. 직선 PS 위의 현은 중심에서의 거리가 b/√5, 반현이 2이므로 (b/√5)² + 2² = b², 즉 b² − b²/5 = 4에서 (4/5)b² = 4가 되어 b² = 5가 곧바로 나옵니다. 이를 첫 식에 넣으면 a² = 5 − 4 = 1입니다.
이 접근의 장점은 두 조건이 서로 얽히지 않는다는 점입니다. PS 쪽 식 하나만으로 b가 결정되고, QR 쪽 식이 a를 담당하므로 연립 과정에서 실수할 여지가 줄어듭니다. OC² = a² + b² = 1 + 5 = 6이므로 답은 √6입니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘x축에 접한다’는 문장은 반드시 접점의 x좌표 = 중심의 x좌표, 반지름 = 중심의 y좌표 두 가지로 번역하세요. 이 번역을 건너뛰고 중심과 반지름을 각각 미지수로 두면 미지수 3개가 되어 식이 부족해집니다.
- 현의 길이 4를 그대로 피타고라스에 넣지 마세요. 중심에서 내린 수선의 발이 현의 중점이므로 직각삼각형에 들어가는 변은 절반인 2입니다. 이 지점에서 답이 어긋나는 경우가 가장 많습니다.
- 점과 직선 사이의 거리를 쓰기 전에 직선을 반드시 Ax+By+C=0 꼴로 정리하세요. y−0=2(x−a)를 정리하지 않고 대입하면 상수항 −2a의 부호를 놓치기 쉽습니다.
- 절댓값을 벗길 때는 근거를 함께 적으세요. |−b| = b는 문제에서 중심이 제1사분면에 있다는 조건, 즉 b>0이 있기 때문에 성립합니다.
- 마지막에 묻는 값을 다시 확인하세요. 이 문항이 요구하는 것은 반지름 √5도, 중심의 좌표도 아닌 OC입니다. a와 b를 구한 순간 답을 다 낸 기분이 들어 √5나 1을 고르는 실수가 나옵니다.
엄선된 풀이 영상
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