TOUGH
최다빈출 왕중요
Ⅰ-03 원의 방정식
원과 직선의 위치 관계
현의 길이
정삼각형 조건
점과 직선 사이의 거리
출제의도
원과 직선이 두 점에서 만나고, 그 두 교점과 중심이 정삼각형을 이룬다는 조건에서 기울기 m을 찾는 문항입니다. 겉보기에는 교점을 구해야 할 것 같지만, 교점의 좌표는 끝까지 필요하지 않습니다.
핵심은 정삼각형이라는 말을 길이 조건으로 번역하는 데 있습니다. CP와 CQ는 원의 반지름이므로 이미 같고, 정삼각형이 되려면 나머지 한 변 PQ까지 반지름과 같아야 합니다. 즉 ‘현의 길이가 반지름과 같다’가 되고, 그러면 중심에서 현까지의 거리가 하나로 정해집니다. 이 값을 점과 직선 사이의 거리 공식으로 다시 쓰면 m에 대한 방정식이 완성됩니다. 조건을 도형 언어에서 거리 언어로 옮기는 훈련용 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 원을 표준형으로 고치세요. x²+y²−8y=0은 x²+(y−4)²=16이므로 중심 C(0, 4), 반지름 4입니다.
이제 CP, CQ가 모두 반지름 4라는 점에 주목하세요. 삼각형 CPQ는 이미 이등변삼각형이므로, 정삼각형이 되려면 PQ=4이면 충분합니다. 교점을 구하려 하지 말고, 현의 길이 4에서 출발하세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
중심 C에서 현 PQ에 수선의 발 H를 내리면 PH=2이고, 직각삼각형 CPH에서 CH를 반지름 4와 함께 계산할 수 있습니다. 이것이 중심에서 직선까지의 거리입니다.
같은 거리를 공식으로도 표현하세요. y=mx−2를 mx−y−2=0 꼴로 정리한 뒤 점 C(0, 4)와의 거리를 쓰면 분모에 √(m²+1)이 등장합니다. 두 식을 같다고 놓고 양변을 제곱하면 m²에 대한 간단한 방정식이 되고, 마지막에 m>0이라는 조건으로 답을 하나 고르면 됩니다.
정답 확인
정답 ② m = √2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A정삼각형 조건에서 중심-현 사이의 거리 구하기
x²+y²−8y=0에서 x²+(y−4)²=16이므로 중심 C(0, 4), 반지름 4입니다. 정삼각형 CPQ에서 CP=CQ=4이므로 PQ=4입니다. 중심 C에서 PQ에 내린 수선의 발을 H라 하면 PH=2이고, 직각삼각형 CPH에서
CH = √(CP²−PH²) = √(16−4) = 2√3 ……㉠
STEP B점과 직선 사이의 거리로 m 구하기
CH는 중심 C(0, 4)와 직선 mx−y−2=0 사이의 거리이므로
CH = |−4−2| ÷ √(m²+1) = 6 ÷ √(m²+1) ……㉡
㉠, ㉡에서 2√3 = 6÷√(m²+1)이므로 √(3m²+3)=3, 즉 3m²+3=9에서 m²=2입니다. 따라서 m=√2 또는 m=−√2이고, 양수 m은 √2입니다.
STEP C검산 — 실제로 두 점에서 만나는지 확인
중심에서 직선까지의 거리 2√3≈3.46이 반지름 4보다 작으므로 직선은 원과 서로 다른 두 점에서 만납니다. 또한 CP=CQ=PQ=4이므로 삼각형 CPQ는 정삼각형이 되어 조건을 모두 만족합니다.
1등급 다른 풀이 · 중심각 60°와 고정점으로 읽기
정삼각형이라는 말은 곧 중심각 ∠PCQ=60°라는 뜻입니다. 반지름 4인 원에서 중심각이 60°인 현까지의 거리는 4cos30°=2√3으로, 직각삼각형을 그리지 않아도 곧바로 나옵니다. 중심각이 60°, 90°, 120°인 현은 각각 거리가 r·√32, r·√22, r·12이므로 외워두면 이 유형은 계산 없이 첫 줄이 채워집니다.
한 걸음 더 나아가면, 직선 y=mx−2는 m의 값과 무관하게 항상 점 A(0, −2)를 지납니다. C(0, 4)와 A(0, −2) 사이의 거리는 6이고, 선분 CA는 y축과 겹칩니다. 직선이 y축과 이루는 각을 α라 하면 C에서 직선까지의 거리는 6sin α이므로 6sin α=2√3에서 sin α=1√3입니다. 그러면 tan α=1√2이고, 직선의 기울기는 y축 기준 각의 탄젠트의 역수이므로 m=√2가 됩니다. 문제를 ‘고정점에서 회전하는 직선’으로 보면 왜 답이 두 개(±√2)뿐인지도 그림으로 바로 이해됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 원의 중심과 현의 두 끝점이 만드는 삼각형은 항상 이등변삼각형입니다. 정삼각형 조건은 결국 ‘현의 길이 = 반지름’ 하나로 압축됩니다. 이 번역을 놓치면 교점을 직접 구하려다 계산이 폭발합니다.
- 점과 직선 사이의 거리를 쓰기 전에 직선을 반드시 일반형 mx−y−2=0으로 고치세요. y=mx−2 상태로 공식에 넣으면 분모가 √(m²+1)이 아니라 엉뚱하게 계산됩니다.
- 분자 |m·0−4−2|에서 중심의 좌표를 대입하는 위치를 헷갈리지 마세요. x좌표가 0이라 m항이 사라지는 것이 이 문제의 계산이 가벼운 이유입니다.
- m²=2에서 m=±√2가 나오면 문제의 ‘양수 m’ 조건으로 하나를 골라야 합니다. 두 값을 모두 답하거나 음수를 고르는 실수가 잦습니다.
- 마지막에 두 교점이 실제로 존재하는지 확인하세요. 중심에서 직선까지의 거리가 반지름보다 작아야 하며, 이 조건을 어기면 삼각형 자체가 만들어지지 않습니다.
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