TOUGH
최다빈출 왕중요
Ⅰ-03 원의 방정식
접기와 대칭
두 원의 공통인 현
원의 방정식 표준형
출제의도
원을 선분 PQ로 접어서 호가 x축에 접하게 만든 상황입니다. 그림만 보면 넓이나 각을 묻는 도형 문제처럼 보이지만, 실제로 묻는 것은 접힌 호가 놓여 있는 원의 방정식을 스스로 만들어낼 수 있는가입니다. 문제에 주어진 원은 하나지만, 풀이에 필요한 원은 두 개입니다.
접기는 대칭이동이고, 대칭이동은 도형의 크기를 바꾸지 않습니다. 따라서 접힌 호는 여전히 반지름이 3인 원의 일부이고, 그 원이 x축과 점 (−1, 0)에서 접한다는 조건이 중심의 위치를 단번에 확정해 줍니다. 여기까지 오면 남은 일은 두 원의 교점을 지나는 직선을 구하는 표준 작업뿐입니다. 발상 한 번에 난이도가 결정되는 전형적인 TOUGH 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
접힌 호를 그대로 두지 말고, 그 호를 일부분으로 하는 원 전체를 점선으로 그려 넣으세요. 접기는 대칭이동이므로 이 원의 반지름도 3입니다.
이제 조건 하나가 남습니다. 이 원은 x축 위의 점 (−1, 0)에서 접합니다. 접점과 중심을 잇는 선분은 접선에 수직이므로, 중심은 (−1, 0)을 지나는 세로선 위에 있고 x축에서 거리가 3만큼 떨어져 있습니다. 중심의 좌표가 바로 결정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
새로 그린 원의 중심은 (−1, 3), 반지름은 3이므로 (x+1)²+(y−3)²=9입니다. 이것을 일반형으로 펼쳐 두세요.
여기서 P, Q는 두 원의 교점입니다. 즉 직선 PQ는 두 원의 공통인 현이므로, x², y²의 계수를 1로 맞춘 두 방정식을 서로 빼면 곧바로 직선의 방정식이 나옵니다. 마지막에 문제가 요구한 x+ay+b=0 꼴, 즉 x의 계수가 1인 형태로 정리한 뒤 a, b를 읽어야 한다는 점에 주의하세요.
정답 확인
정답 a+b = 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접힌 호가 놓인 원의 방정식 구하기
호 PQ를 일부분으로 하는 원은 원래 원 x²+y²=9를 접어서 만든 것이므로 반지름이 3으로 같습니다. 이 원이 x축과 점 (−1, 0)에서 접하므로 중심은 (−1, 3)입니다. 따라서 (x+1)²+(y−3)²=9, 즉 x²+y²+2x−6y+1=0입니다.
STEP B두 원의 교점을 지나는 직선 구하기
점 P, Q는 두 원 x²+y²−9=0과 x²+y²+2x−6y+1=0의 교점입니다. 두 식을 빼면 x², y² 항이 소거되어
(x²+y²+2x−6y+1) − (x²+y²−9) = 0 → 2x−6y+10=0 → 양변을 2로 나누어 x−3y+5=0
이것이 접는 선, 즉 직선 PQ의 방정식입니다.
STEP Ca+b의 값 계산
x−3y+5=0을 x+ay+b=0과 비교하면 a=−3, b=5입니다. 따라서 a+b=−3+5=2입니다.
1등급 다른 풀이 · 접는 선은 두 중심의 수직이등분선
종이를 접으면 겹쳐지는 두 점은 접는 선에 대해 대칭입니다. 원 전체를 접었다고 보면 원래 원의 중심 O(0, 0)이 옮겨간 자리가 새 원의 중심 O′(−1, 3)이므로, 접는 선 PQ는 선분 OO′의 수직이등분선입니다. 교점을 구하지 않고도 직선을 만들 수 있습니다.
선분 OO′의 중점은 (−12, 32)이고 OO′의 기울기는 3÷(−1)=−3이므로, PQ의 기울기는 13입니다. 점과 기울기로 쓰면 y−32=13(x+12)이고, 양변에 6을 곱해 정리하면 2x−6y+10=0, 즉 x−3y+5=0으로 같은 결과가 나옵니다.
이 관점은 검산용으로도 좋습니다. 두 원의 방정식을 빼서 얻은 직선이 두 중심의 수직이등분선과 일치하는지 확인하면 계산 실수를 바로 잡아낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 접기 문제의 첫 수순은 합동인 원을 하나 더 그리는 것입니다. 접힌 호를 호로만 보고 있으면 식을 세울 대상이 없습니다. 반지름이 보존된다는 사실이 이 문제의 전부입니다.
- 접점 조건은 중심의 좌표를 통째로 결정합니다. x축에 (−1, 0)에서 접하면 중심의 x좌표는 −1로 고정되고, y좌표는 반지름과 같은 3입니다. 그림에서 호가 위로 볼록하니 중심은 위쪽, 즉 (−1, 3)입니다.
- 두 원의 공통현을 구할 때는 x², y²의 계수를 반드시 1로 맞춘 뒤 빼야 합니다. 계수가 다르면 이차항이 남아 직선이 나오지 않습니다.
- 가장 흔한 실점은 마지막 정규화입니다. 2x−6y+10=0을 그대로 x+ay+b=0에 대응시켜 a=−6, b=10으로 읽으면 a+b=4가 되어 오답이 됩니다. x의 계수를 1로 만든 뒤 읽으세요.
- 구한 직선이 실제로 원 x²+y²=9와 두 점에서 만나는지 확인해 두면 안전합니다. 원점에서 x−3y+5=0까지의 거리는 5÷√10=√10÷2≈1.58로 반지름 3보다 작으므로 현이 맞습니다.
엄선된 풀이 영상
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