행복한 일등급
두 점 사이의 거리
등거리 조건 · 외심
출제의도
세 대리점에서 같은 거리에 있는 곳에 물류창고를 짓는다는 실생활 상황을 좌표평면으로 옮기는 문항입니다. 문제에는 좌표가 하나도 주어져 있지 않고, 대신 ‘서쪽으로 4km’, ‘동쪽으로 1km, 북쪽으로 1km’라는 방위 표현만 등장합니다. 좌표를 스스로 만들어 내는 것부터가 이 문제의 시작입니다.
일등급 문항에 배치된 이유는 계산 난도가 아니라 설계 판단 때문입니다. 어느 점을 원점으로 잡느냐에 따라 뒤따르는 식의 복잡도가 확연히 달라지고, 세 점에서 같은 거리라는 조건을 ‘거리 공식 연립’으로 볼지 ‘외심’으로 볼지에 따라 풀이의 성격 자체가 바뀝니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
방위를 좌표로 번역하세요. 동쪽을 x축의 양의 방향, 북쪽을 y축의 양의 방향으로 잡으면 됩니다. 원점은 세 지점 중 하나에 놓는 것이 유리한데, 문제가 최종적으로 묻는 것이 A지점까지의 거리이므로 A를 원점으로 잡는 것이 가장 깔끔합니다.
그러면 A(0, 0), B(−4, 0), C(1, 1)이 됩니다. ‘세 지점에서 같은 거리’는 곧 AP = BP = CP라는 두 개의 등식으로 번역됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
물류창고의 위치를 P(x, y)로 두고 세 거리를 모두 근호로 적어 보세요. 여기서 절대 근호를 그대로 두고 옮기면 안 됩니다. 양변을 제곱해 AP² = BP², AP² = CP² 두 식으로 바꾸면 x², y²이 통째로 소거됩니다.
AP² = BP²에서는 y가 사라지고 x만 남는 일차식이, AP² = CP²에서는 x와 y의 일차식이 나옵니다. 앞에서 구한 x를 뒤 식에 대입하면 y가 결정됩니다.
마지막으로 묻는 것은 P의 좌표가 아니라 P에서 A까지의 거리라는 점을 놓치지 마세요.
정답 확인
정답 ② √13 km
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A세 지점을 좌표평면 위에 나타내기
A를 원점으로 하는 좌표평면을 잡습니다. B는 A에서 서쪽으로 4km이므로 B(−4, 0), C는 동쪽으로 1km·북쪽으로 1km이므로 C(1, 1)입니다.
STEP B등거리 조건으로 선분 AP의 길이 구하기
P(x, y)로 두면 AP² = x² + y², BP² = x² + 8x + y² + 16, CP² = x² − 2x + y² − 2y + 2입니다. AP² = BP²에서 8x + 16 = 0이므로 x = −2, AP² = CP²에서 x + y − 1 = 0이므로 y = 3입니다. 따라서 AP = √{(−2)² + 3²} = √13, 즉 구하는 거리는 √13 km입니다.
1등급 다른 풀이 · 원의 방정식
세 점 A, B, C에서 같은 거리에 있는 점 P는 세 점을 지나는 원의 중심, 곧 삼각형 ABC의 외심입니다. 원 위의 점은 언제나 중심에서 같은 거리에 있기 때문입니다. 이렇게 보면 구하는 AP는 그 원의 반지름 자체가 됩니다.
원의 방정식을 x² + y² + ax + by + c = 0으로 두고 대입해 보면, A(0, 0)에서 c = 0, B(−4, 0)에서 16 − 4a = 0이므로 a = 4, C(1, 1)에서 1 + 1 + 4 + b = 0이므로 b = −6입니다. 즉 x² + y² + 4x − 6y = 0이고, 완전제곱꼴로 고치면 (x + 2)² + (y − 3)² = 13입니다.
중심 P(−2, 3), 반지름 √13이 한 번에 읽히므로 답은 √13 km입니다. 등거리 조건을 두 번 연립하는 대신 미지수 세 개를 한 번에 결정하는 방식이라, 조건이 되는 점이 세 개일 때는 이 접근이 오히려 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 좌표 설정은 계산의 절반입니다. 세 지점 중 아무 곳이나 원점으로 잡아도 답은 같지만, 최종적으로 묻는 대상인 A를 원점에 두면 AP² = x² + y²이 되어 식이 가장 짧아집니다.
- 방위의 부호를 확인하세요. 서쪽은 x좌표가 음수, 북쪽은 y좌표가 양수입니다. B를 (4, 0)으로 잘못 놓으면 x = 2가 나와 답이 √13이 아니게 됩니다.
- 근호를 붙인 채로 연립하지 마세요. 등거리 조건은 반드시 제곱해서 AP² = BP² 꼴로 처리해야 x², y²이 소거되고 일차식만 남습니다.
- 세 등식 중 두 개만 쓰면 충분합니다. AP = BP, AP = CP 두 개면 P가 결정되므로 BP = CP까지 세우면 시간만 낭비합니다.
- 구한 값이 무엇인지 다시 확인하세요. 이 문제는 P(−2, 3)이 아니라 A까지의 거리를 묻습니다. 좌표를 구한 뒤 반드시 거리 계산 한 단계가 더 남아 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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