행복한 일등급
두 점 사이의 거리
닮음비와 넓이비
출제의도
x축 위에 크기가 커지는 정사각형 네 개를 나란히 붙여 놓고, 그중 두 꼭짓점 B₁, B₃ 사이의 거리를 묻는 문항입니다. 겉보기에는 거리 공식 한 줄이면 끝날 것 같지만, 거리 공식을 쓰려면 먼저 B₁과 B₃의 좌표를 알아야 하고 그 좌표는 문제에 직접 주어져 있지 않습니다.
주어진 것은 오직 B₄(30, 18)이라는 좌표 하나와 앞쪽 세 정사각형의 넓이의 비 1 : 4 : 9뿐입니다. 결국 이 문항의 승부처는 ‘넓이의 비를 변의 비로 바꾸는 것’과 ‘B₄의 y좌표가 마지막 정사각형의 한 변이라는 사실을 읽어내는 것’, 이 두 번역에 있습니다. 계산은 오히려 뒤따라오는 부수적인 절차입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
넓이의 비 1 : 4 : 9는 그대로 변의 비가 아닙니다. 1 : 4 : 9 = 1² : 2² : 3²이므로 대응하는 변의 비, 즉 OA₁ : A₁A₂ : A₂A₃ = 1 : 2 : 3입니다.
또 하나, 마지막 정사각형 A₃A₄B₄C₄의 한 변의 길이는 어디에 숨어 있을까요? B₄(30, 18)에서 y좌표 18이 바로 그 한 변입니다. 그러면 A₃의 x좌표는 30에서 18을 뺀 값으로 곧바로 확정됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
OA₁ = a로 두면 A₁A₂ = 2a, A₂A₃ = 3a이므로 OA₃ = a + 2a + 3a = 6a입니다. 앞에서 구한 A₃의 x좌표와 같다고 놓으면 a가 한 번에 결정됩니다.
정사각형의 오른쪽 위 꼭짓점 Bₖ의 좌표는 (Aₖ의 x좌표, 그 정사각형의 한 변)이라는 규칙을 기억하세요. 이 규칙으로 B₁과 B₃의 좌표를 적으면 됩니다.
마지막으로, 문제가 요구한 것은 B₁B₃가 아니라 B₁B₃2입니다. 근호를 씌웠다가 다시 제곱하지 말고 (가로 차)² + (세로 차)²에서 바로 멈추세요.
정답 확인
정답 B₁B₃2 = 116
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이의 비로 점 A₁의 좌표 구하기
정사각형 A₃A₄B₄C₄의 한 변은 B₄의 y좌표인 18이므로 A₃(30 − 18, 0), 즉 A₃(12, 0)입니다. 한편 넓이의 비 1 : 4 : 9 = 1² : 2² : 3²에서 변의 비는 OA₁ : A₁A₂ : A₂A₃ = 1 : 2 : 3이므로 OA₁ = a로 두면 OA₃ = 6a = 12에서 a = 2, 즉 A₁(2, 0)입니다.
STEP B두 점 사이의 거리로 B₁B₃2 구하기
OA₁ = 2, A₁A₂ = 4, A₂A₃ = 6이므로 각 정사각형의 오른쪽 위 꼭짓점은 B₁(2, 2), B₂(6, 4), B₃(12, 6)입니다. 따라서 B₁B₃2 = (12 − 2)² + (6 − 2)² = 100 + 16 = 116입니다.
1등급 다른 풀이 · 좌표 대신 변화량으로
B₁과 B₃의 좌표를 일일이 적지 않아도 됩니다. B₁에서 B₃까지 가로로 움직인 거리는 A₁A₂ + A₂A₃ = 2a + 3a = 5a이고, 세로로 올라간 높이는 세 번째 정사각형의 한 변에서 첫 번째 정사각형의 한 변을 뺀 3a − a = 2a입니다.
그러므로 B₁B₃2 = (5a)² + (2a)² = 29a²이고, a = 2를 대입하면 29 × 4 = 116으로 한 줄에 끝납니다. 각 점의 좌표를 좌표평면에 옮겨 적는 과정에서 나오는 실수를 원천적으로 없애 주는 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이의 비를 변의 비로 착각하지 마세요. 1 : 4 : 9를 그대로 변의 비로 쓰면 A₁ 좌표부터 어긋납니다. 닮음비가 a : b이면 넓이의 비는 a² : b²이라는 관계를 항상 거꾸로 되짚어야 합니다.
- B₄(30, 18)에서 필요한 정보는 y좌표 18입니다. 마지막 정사각형의 한 변을 x좌표 30으로 잡는 순간 A₃의 위치가 통째로 틀어집니다.
- 넓이의 비 조건이 걸린 정사각형은 앞의 세 개뿐입니다. 네 번째 정사각형까지 1 : 4 : 9 : 16으로 확장해 놓고 계산하면 모순이 생깁니다.
- 문제가 물은 것은 제곱값입니다. √116을 구했다가 다시 제곱하는 학생이 많은데, 애초에 100 + 16에서 멈추면 근호를 한 번도 쓸 일이 없습니다.
- 연계 문항(B₄(38, 20) 버전)도 구조가 완전히 같습니다. A₃(18, 0), 6a = 18에서 a = 3, B₁(3, 3), B₃(18, 9)로 B₁B₃2 = 225 + 36 = 261입니다. 숫자만 바꿔 다시 한 번 손으로 풀어 보세요.
엄선된 풀이 영상
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