일등급문제
최다빈출 왕중요
무게중심
내분점
좌표 설정
출제의도
이 문항에는 좌표가 하나도 주어져 있지 않습니다. 도형만 있고 좌표평면이 없으니, 좌표축을 어디에 놓을지 스스로 정하는 것부터가 풀이의 일부입니다. 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변을 축 위에 올리면 세 꼭짓점이 모두 정수 좌표가 되고, 변 위의 점 E, F도 간단한 식 하나로 표현됩니다.
일등급문제 스텝에 놓인 이유는 미지점 두 개를 다루는 방식 때문입니다. E와 F를 각각 (p, q), (r, s)처럼 미지수 네 개로 두면 식이 두 개뿐이라 풀리지 않습니다. E는 변 BC 위에 있으므로 한 좌표가 고정되고, F는 변 CA 위에 있으므로 직선 CA의 식을 만족한다는 조건을 좌표 표현 단계에서 미리 써 버려야 미지수가 두 개로 줄어듭니다. 조건을 언제 소비하느냐가 이 문제의 승부처입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
좌표가 없는 도형 문제는 좌표를 직접 잡으면 됩니다. ∠B = 90°이므로 직각을 낀 두 변 AB, BC를 각각 축 위에 올려놓으세요. AB = BC = 9라는 조건 덕분에 세 꼭짓점이 모두 정수 좌표가 됩니다.
점 E는 변 BC 위, 점 F는 변 CA 위에 있습니다. 변 BC는 축과 나란한 직선이므로 E는 좌표 하나가 이미 정해져 있고, 변 CA는 기울기가 명확한 직선이므로 F는 그 직선의 식을 이용해 문자 하나로 나타낼 수 있습니다. 미지수를 두 개로 줄이는 것이 목표입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
먼저 삼각형 ABC의 무게중심을 구하고, 변 AB를 2 : 1로 내분하는 점 D의 좌표를 구하세요. 그다음 E, F를 각각 문자 하나로 두고 삼각형 DEF의 무게중심을 세 꼭짓점의 좌표 평균으로 나타냅니다.
두 무게중심이 일치한다는 조건에서 x좌표끼리, y좌표끼리 등식 두 개가 나옵니다. 미지수 두 개에 식 두 개이므로 그대로 연립하면 됩니다. 이때 무게중심 공식의 분모는 양쪽 모두 3이므로, 굳이 3으로 나누지 말고 세 좌표의 합끼리 비교하면 분수 없이 계산할 수 있습니다. 마지막으로 확정된 E, F에 거리 공식을 적용하세요.
정답 확인
정답 EF = 3√5
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A좌표 설정과 삼각형 ABC의 무게중심
변 AB를 x축 위에 놓고 꼭짓점 A를 원점으로 잡으면 A(0, 0), B(9, 0), C(9, 9)입니다. 삼각형 ABC의 무게중심은 ((0+9+9)/3, (0+0+9)/3), 즉 (6, 3)입니다.
STEP BD, E, F의 좌표와 삼각형 DEF의 무게중심
변 AB를 2 : 1로 내분하는 점은 D(6, 0)입니다. 직선 BC의 방정식이 x = 9이므로 E(9, a)로, 직선 AC의 방정식이 y = x이므로 F(b, b)로 놓습니다. 삼각형 DEF의 무게중심은 ((6+9+b)/3, (0+a+b)/3), 즉 ((b+15)/3, (a+b)/3)입니다.
STEP C연립 후 선분 EF의 길이
두 무게중심이 일치하므로 (b+15)/3 = 6에서 b = 3, (a+b)/3 = 3에서 a + 3 = 9이므로 a = 6입니다. 따라서 E(9, 6), F(3, 3)이고 EF = √{(3−9)²+(3−6)²} = √(36+9) = 3√5입니다.
1등급 다른 풀이 · 좌표합으로 번역하고 원점을 옮기기
무게중심 공식은 세 꼭짓점 좌표의 평균이고 분모는 항상 3입니다. 그러므로 ‘두 삼각형의 무게중심이 일치한다’는 조건은 곧 ‘세 꼭짓점의 x좌표의 합이 같고, y좌표의 합도 같다’는 뜻입니다. 분수를 아예 만들지 않고 시작할 수 있습니다.
여기에 원점을 직각 꼭짓점 B에 두면 계산이 한층 가벼워집니다. B(0, 0), A(9, 0), C(0, 9)로 잡으면 x좌표 합과 y좌표 합이 모두 9입니다. D는 변 AB를 A에서 B 방향으로 2 : 1 내분하므로 D(3, 0), E는 y축 위이므로 E(0, e), F는 직선 CA : x + y = 9 위이므로 F(f, 9−f)입니다. x좌표 합에서 3 + 0 + f = 9이므로 f = 6, y좌표 합에서 0 + e + (9−f) = 9이므로 e = 6입니다. 즉 E(0, 6), F(6, 3)이고 EF = √(36+9) = 3√5로 같은 답이 나옵니다. 좌표 설정을 바꿔도 길이는 변하지 않는다는 점을 확인해 두면 자신 있게 축을 고를 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 내분의 방향을 문제 문장 그대로 읽으세요. ‘변 AB를 2 : 1로 내분’은 A에서 B 방향입니다. 방향을 뒤집으면 D가 A쪽으로 치우쳐 그림과 어긋나고, 이후 계산이 모두 틀어집니다.
- E와 F를 미지수 네 개로 두지 마세요. E는 변 BC 위, F는 변 CA 위라는 조건을 좌표를 세우는 순간 반영해야 미지수가 두 개로 줄고, 식 두 개로 풀립니다.
- 무게중심 공식의 분모 3을 양변에서 미리 없애세요. 등식을 3배 해서 좌표합끼리 비교하면 분수 계산과 그로 인한 실수를 통째로 피할 수 있습니다.
- 구한 E, F가 실제로 변 위에 있는지 확인하세요. A(0,0), B(9,0), C(9,9) 설정에서 E(9, 6)은 0 ≤ 6 ≤ 9이므로 변 BC 위, F(3, 3)도 변 CA 위에 있습니다. 범위를 벗어나면 좌표 설정이나 연립에서 실수한 것입니다.
- 마지막에 묻는 것은 점의 좌표가 아니라 선분 EF의 길이입니다. E, F를 구하고 만족하지 말고 거리 공식까지 반드시 적용하세요.
엄선된 풀이 영상
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