TOUGH
선분의 내분점
삼각형의 넓이
출제의도
이 문항은 ‘삼각형 OAC의 넓이가 27’이라는 한 줄의 조건을 점 C의 좌표로 바꾸는 문제입니다. 세 점 O, A, B가 이미 고정되어 있고 C만 직선 AB 위를 움직이므로, 넓이가 커진다는 것은 곧 C가 A에서 얼마나 멀어졌는가와 같은 말이 됩니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 넓이를 ‘비’로 읽어낼 수 있느냐에 있습니다. 밑변을 공유하는 두 삼각형의 넓이비가 그대로 밑변 위 선분의 길이비가 된다는 것을 알아채면 내분점 공식 한 번으로 끝나지만, 이를 놓치면 미지수 두 개를 잡고 직선의 방정식과 넓이 공식을 동시에 다뤄야 합니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 기준이 되는 삼각형 OAB의 넓이를 구해 보세요. 점 B(0, 6)은 y축 위의 점이므로 선분 OB를 밑변으로 잡으면 밑변의 길이는 6, 높이는 점 A의 x좌표인 3이 됩니다.
이제 삼각형 OAC를 같은 방식으로 보세요. 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있으므로 삼각형 OAB와 삼각형 OAC는 꼭짓점 O를 공유합니다. 두 넓이의 비가 무엇의 비로 이어지는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
넓이의 비는 9 : 27 = 1 : 3이고, 이것이 곧 AB : AC = 1 : 3입니다. 즉 AB : BC = 1 : 2이므로 점 B는 선분 AC를 1 : 2로 내분하는 점입니다.
C(a, b)로 놓고 내분점 공식을 세운 뒤, 그 결과가 B(0, 6)과 일치한다는 식에서 a와 b를 각각 구하세요. 마지막에 a < 0 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 합니다.
정답 확인
정답 18 ( C(−6, 12), b − a = 18 )
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이비로 점 C의 위치 파악
(삼각형 OAB의 넓이) = 12 × OB × (점 A의 x좌표) = 12 × 6 × 3 = 9입니다. 삼각형 OAC의 넓이가 27이므로 넓이비는 9 : 27 = 1 : 3, 따라서 AB : AC = 1 : 3입니다. 즉 점 B가 선분 AC를 1 : 2로 내분하거나, 점 A가 선분 BC를 1 : 3으로 내분하는 두 경우가 생깁니다.
STEP B내분점 공식으로 C의 좌표 결정
C(a, b)라 하고 점 B가 선분 AC를 1 : 2로 내분하는 경우를 계산하면 내분점은 a+63, b+63입니다. 이것이 B(0, 6)과 같으므로 a = −6, b = 12, 즉 C(−6, 12)를 얻습니다.
STEP Cb − a의 값 구하기
a = −6, b = 12이므로 b − a = 12 − (−6) = 18입니다. 참고로 점 A가 선분 BC를 1 : 3으로 내분하는 다른 경우는 C(12, −6)이 되어 a < 0 조건에 맞지 않으므로 버립니다.
1등급 다른 풀이 · 직선의 방정식과 넓이 분해
두 점 A(3, 3), B(0, 6)을 지나는 직선 AB는 기울기가 −1이므로 y = −x + 6입니다. a < 0이면 점 C는 y축의 왼쪽에 있으므로, 삼각형 OAC는 y축을 경계로 삼각형 OAB와 삼각형 OBC로 정확히 나뉩니다.
따라서 (삼각형 OAC의 넓이) = 12 × 6 × 3 + 12 × 6 × (−a) = 9 − 3a = 27에서 a = −6이 곧바로 나옵니다. C(−6, b)가 직선 y = −x + 6 위의 점이므로 b = 12이고, b − a = 18입니다. 내분 비율을 따지지 않고 밑변 OB 하나로 밀어붙이는 이 방식이 시험장에서는 더 빠릅니다.
실수를 줄이는 전략
- 좌표평면의 삼각형 넓이는 밑변을 어디에 두느냐가 전부입니다. 축 위에 놓인 변이 보이면 그것을 밑변으로 잡으세요. 높이는 나머지 점의 좌표 절댓값으로 즉시 읽힙니다.
- AB : AC = 1 : 3을 그대로 내분비로 쓰면 안 됩니다. 내분점 공식에 넣을 비는 AB : BC = 1 : 2입니다. 전체 길이와 부분 길이를 혼동하는 지점이 이 문제의 최다 실수 구간입니다.
- 넓이 조건만으로는 점 C가 A의 어느 쪽에 있는지 정해지지 않아 후보가 두 개 나옵니다. a < 0이라는 단서를 마지막에 반드시 다시 읽고 하나를 버리세요.
- 답이 b − a임을 놓치지 마세요. b = 12, a = −6에서 부호를 잘못 처리해 6으로 적는 오답이 매우 흔합니다.
엄선된 풀이 영상
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