TOUGH
최다빈출
내분점 공식
넓이비와 밑변비
출제의도
좌표가 주어진 삼각형에서 넓이 조건을 만족하는 점의 위치를 찾는 문항입니다. 겉보기에는 좌표 계산 문제처럼 보이지만, 실제 승부는 계산이 아니라 ‘넓이가 몇 배’라는 조건을 ‘길이가 몇 대 몇’으로 번역하는 첫 단계에서 갈립니다.
최다빈출로 표시된 이유가 여기 있습니다. 넓이비를 길이비로 바꾸는 순간 남는 것은 내분점 공식 한 줄뿐이고, 이 구조는 도형의 방정식 단원 전체에서 형태만 바꿔 반복해서 등장합니다. 두 삼각형이 높이를 공유한다는 사실을 눈으로 확인하는 습관을 이 문항에서 만들어 두면 이후가 편해집니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 삼각형이 꼭짓점 A를 함께 쓰고, 나머지 밑변은 모두 직선 BC 위에 놓여 있습니다. 그러면 A에서 직선 BC까지 내린 높이가 두 삼각형에서 똑같습니다.
높이가 같은 두 삼각형의 넓이비는 밑변 길이의 비와 같습니다. 즉 넓이 조건은 곧바로 BC 위 두 조각의 길이비 조건으로 번역됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
넓이가 2배인 쪽의 밑변이 2배로 깁니다. 어느 조각이 긴 쪽인지 확정하면 점 P가 선분 BC를 어떤 비로 내분하는지가 정해지고, 그다음은 내분점 공식뿐입니다.
m : n으로 내분하는 점의 좌표는 각 좌표마다 (m×뒤쪽 점 + n×앞쪽 점) ÷ (m+n)으로 계산합니다. m이 곱해지는 대상이 뒤쪽 점이라는 점만 지키면 부호 실수가 사라집니다. 마지막으로 문제가 요구한 것이 좌표인지 좌표의 합인지 다시 읽으세요.
정답 확인
정답 ④
P(−1, −1) 이므로 a=−1, b=−1, 즉 a+b=−2 입니다.
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A넓이비를 길이비로 번역
두 삼각형은 높이가 같으므로 넓이비가 그대로 밑변비입니다. 넓이가 2배인 쪽의 밑변이 2배이므로, 점 P는 B에서 가까운 쪽 조각과 C에서 가까운 쪽 조각의 비가 1 : 2가 되는 자리에 있습니다. 즉 선분 BC를 1 : 2로 내분하는 점입니다.
STEP B내분점 공식으로 좌표 확정
B(−4, −2)와 C(5, 1)에 대해 1 : 2 내분점을 구합니다. x좌표는 (1×5+2×(−4))÷3=−1, y좌표는 (1×1+2×(−2))÷3=−1이므로 P(−1, −1)입니다. 문제는 좌표가 아니라 두 값의 합을 물었으므로 답은 −2입니다.
1등급 다른 풀이 · 좌표 차이를 3등분
내분비가 1 : 2라는 것은 B에서 출발해 C쪽으로 전체의 3분의 1만 이동한다는 뜻입니다. 두 점의 좌표 차이를 보면 x는 9만큼, y는 3만큼 벌어져 있고, 각각의 3분의 1은 3과 1입니다.
따라서 B의 좌표에 (3, 1)을 더하면 (−1, −1)이 곧바로 나옵니다. 좌표 차이가 내분 개수로 딱 떨어질 때는 공식에 수를 넣는 것보다 이 이동 방식이 훨씬 빠르고, 분수 계산을 아예 거치지 않으므로 검산용으로도 좋습니다.
실수를 줄이는 전략
- 넓이가 큰 쪽의 밑변이 긴 쪽입니다. 조건에서 넓이가 2배인 삼각형의 밑변 조각이 2에 해당하므로, 비를 1 : 2로 쓸지 2 : 1로 쓸지는 어느 조각을 앞에 두었는지로 결정됩니다. 그림 위에 1과 2를 직접 적어 두면 뒤집히지 않습니다.
- 내분점 공식에서 앞의 비 m은 뒤쪽 점의 좌표에 곱합니다. 순서를 바꿔 쓰면 정확히 반대편 점이 나오고, 선지에 그 값이 함정으로 들어 있는 경우가 많습니다.
- x좌표와 y좌표를 따로 계산하되 분모는 두 비의 합으로 공통입니다. 음수 좌표가 섞이면 괄호를 반드시 살려서 대입하세요.
- 마지막 한 줄을 놓치지 마세요. 좌표를 구한 뒤 멈추면 답이 아닙니다. 이 문항은 두 좌표의 합을 묻고 있습니다.
엄선된 풀이 영상
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