TOUGH
선분의 내분점
수직선
비의 통일
출제의도
한 선분 위에 내분점 두 개를 동시에 올려놓고, 그 사이 거리가 원래 선분의 몇 배인지 묻는 문항입니다. 구체적인 좌표값이 하나도 주어지지 않았다는 점이 핵심입니다. 수를 대입해 계산하는 문제가 아니라, 비율 자체를 다루는 감각을 확인하는 문제입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 두 내분비의 기준이 서로 다르기 때문입니다. 하나는 선분을 다섯 조각으로, 다른 하나는 열 조각으로 나눈 눈금 위에 있습니다. 이 두 눈금을 하나로 통일하면 암산으로 끝나지만, 통일하지 못하면 문자를 여러 개 놓고 방정식을 세우게 됩니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
내분비는 ‘부분 대 부분’의 비입니다. 이것을 ‘부분 대 전체’로 바꾸는 것이 첫 단추입니다. 앞뒤 두 수를 더한 값이 전체에 해당하므로, 1 : 4는 전체를 5로, 7 : 3은 전체를 10으로 본 눈금입니다.
서로 다른 두 눈금을 한 그림 위에 겹쳐 보려면 눈금 수를 맞춰야 합니다. 5와 10을 동시에 담을 수 있는 가장 작은 눈금 수가 무엇인지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
기준점을 A 하나로 고정하는 것이 계산을 가장 짧게 만듭니다. 두 내분점까지의 거리를 각각 AB에 대한 분수로 쓴 다음, 뒤쪽 점까지의 거리에서 앞쪽 점까지의 거리를 빼면 두 점 사이 거리가 바로 나옵니다.
마지막에 한 가지가 더 남아 있습니다. 구한 비율을 분수 꼴로 정리했을 때, 분모에 오는 수가 p이고 분자에 오는 수가 q입니다. 두 수가 서로소가 되도록 약분을 끝냈는지 확인한 뒤에 더하세요.
정답 확인
정답 3
두 내분점 사이의 거리는 12AB 이므로 p=2, q=1 입니다.
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A부분비를 전체비로 환산
1 : 4로 내분하는 점은 A로부터 전체의 5분의 1 지점에 있습니다. 7 : 3으로 내분하는 점은 A로부터 전체의 10분의 7 지점에 있습니다. 분모를 10으로 통일하면 각각 10분의 2, 10분의 7이 되어 같은 눈금 위에 올라옵니다.
STEP B두 점 사이 거리를 비율로 확정
10분의 7에서 10분의 2를 빼면 10분의 5, 곧 2분의 1입니다. 따라서 두 내분점 사이의 거리는 AB의 절반이고, 이를 분수 꼴로 맞추면 분모가 2, 분자가 1입니다. 두 수가 이미 서로소이므로 그대로 더해 3을 얻습니다.
1등급 다른 풀이 · 수직선에 좌표 심기
비율끼리 다루는 것이 불안하다면 수직선에 직접 수를 얹으면 됩니다. A를 0, B를 10으로 놓으면 5등분 눈금과 10등분 눈금이 동시에 정수로 떨어집니다. 이때 1 : 4로 내분하는 점은 2, 7 : 3으로 내분하는 점은 7에 위치합니다.
두 점 사이의 거리는 5이고 AB는 10이므로 비율은 곧바로 2분의 1입니다. 전체 길이를 두 내분비 분모의 최소공배수로 잡는 순간, 분수 계산이 정수 뺄셈으로 바뀝니다. 비례 문제에서 계산량을 절반으로 줄이는 표준 기술입니다.
실수를 줄이는 전략
- 1 : 4를 4분의 1로 읽는 실수가 가장 많습니다. 비의 앞뒤를 더한 5가 전체이므로, A에서 잰 거리는 5분의 1입니다.
- 두 내분비가 한 문제에 섞여 나오면 계산보다 분모 통일이 먼저입니다. 눈금이 다른 두 자를 겹쳐 놓고 재는 셈이라 통일 전에는 뺄셈이 성립하지 않습니다.
- 두 점의 앞뒤 순서를 그림에서 반드시 확인하세요. 어느 쪽이 A에 가까운지에 따라 뺄셈의 방향이 바뀌고, 반대로 빼면 음수가 나옵니다.
- 답을 적기 전에 약분 상태를 점검하세요. 10분의 5 그대로 두고 p=10, q=5로 답하면 서로소 조건을 어긴 오답이 됩니다.
엄선된 풀이 영상
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