TOUGH
좌표평면 도입
두 점 사이의 거리
빈칸 추론
출제의도
순수한 도형 관계식을 좌표평면 위로 옮겨 증명하는 과정을 네 칸 비워 둔 추론형 문항입니다. 좌표 설정 자체는 문제가 이미 정해 주었으므로, 학생이 할 일은 각 점의 좌표를 정확히 읽어내고 두 점 사이의 거리 공식을 순서대로 적용하는 것입니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 계산이 어려워서가 아니라, 좌표를 왜 그렇게 잡았는지를 읽어내야 하기 때문입니다. 변 BC의 끝점을 3c로 둔 것은 삼등분점이 분수 없이 딱 떨어지게 만들려는 장치입니다. 이 의도를 놓치면 첫 칸부터 손이 멈춥니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
B가 원점이고 C가 (3c, 0)이므로 변 BC의 길이는 3c입니다. 이것을 세 조각으로 나누면 각 조각의 길이는 c이고, 원점에서 출발해 눈금을 하나씩 세어 가면 삼등분점의 x좌표가 그대로 보입니다.
첫 번째 삼등분점이 (c, 0)으로 주어져 있다면, 두 번째 삼등분점은 원점에서 c만큼 더 간 자리입니다. 이 한 칸을 세는 것이 첫 번째 빈칸의 전부입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
나머지 세 칸은 모두 거리 공식 하나로 처리됩니다. 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂)에 대해 거리의 제곱은 (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)² 입니다. 꼭짓점 A는 (a, b), 나머지 점들은 y좌표가 모두 0이므로, y 방향 차이는 언제나 b 하나로 끝납니다.
마지막 칸은 성격이 다릅니다. 두 삼등분점 사이의 거리는 좌표 차이로 곧바로 구할 수 있고, 그 값을 제곱한 뒤 4를 곱해야 합니다. 제곱이 먼저인지 4를 곱하는 것이 먼저인지 헷갈리면 답이 절반이 됩니다.
정답 확인
정답 ③
(가) 2c · (나) (3c−a)²+b² · (다) (c−a)²+b² · (라) 4c²
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A다섯 점의 좌표 확정
B(0, 0), C(3c, 0), A(a, b)에서 출발합니다. 변 BC가 x축 위에 놓여 있으므로 삼등분점은 x좌표만 세면 됩니다. 원점에서 c 간 자리가 M(c, 0), 다시 c를 더한 자리가 N(2c, 0)입니다.
STEP B거리 공식 대입 후 양변 비교
좌변은 a²+b²와 (3c−a)²+b²를 더해 2a²−6ac+2b²+9c²가 됩니다. 우변은 (c−a)²+b², (2c−a)²+b², 그리고 4c²를 더한 것인데, 전개하면 역시 2a²−6ac+2b²+9c²로 같아집니다. 양변이 문자 하나까지 정확히 일치하므로 등식이 증명됩니다.
1등급 다른 풀이 · 중선정리 두 번
좌표를 전혀 쓰지 않고도 두 줄이면 끝납니다. 삼각형 ABN에서 M은 변 BN의 중점이므로 중선정리에 의해 AB²+AN²=2(AM²+MN²)이 성립합니다. 같은 방식으로 삼각형 AMC에서 N은 변 MC의 중점이므로 AM²+AC²=2(AN²+MN²)입니다.
이 두 식을 변끼리 더하면 양쪽에서 AM²과 AN²이 하나씩 상쇄되고 MN² 항이 4MN²으로 합쳐지면서 목표하는 등식이 그대로 남습니다. 삼등분점을 ‘중점 두 개’로 다시 읽는 순간 문제의 구조가 드러나는 것인데, 최상위권은 좌표를 잡기 전에 이 구조부터 확인합니다.
실수를 줄이는 전략
- 좌표 설정에는 정답이 없습니다. 원점은 선분이 여러 개 모이는 꼭짓점에, x축은 가장 긴 변에 두는 것이 기본이고, 이 문항은 그 원칙을 그대로 따랐습니다.
- 등분점이 있으면 전체 길이를 등분 개수의 배수로 잡으세요. 3등분이면 3c, 4등분이면 4c입니다. 분수 좌표를 피하는 것이 실수 방지 1순위입니다.
- 거리 공식은 루트를 씌운 채 옮기지 말고 처음부터 제곱 상태로 다루세요. 빈칸이 모두 제곱 꼴로 비어 있는 것도 같은 이유입니다.
- 마지막 칸은 MN을 제곱한 뒤 4를 곱한 값입니다. MN 자체가 c이므로 답은 4c²이며, 여기서 2c²로 적으면 등식이 성립하지 않습니다.
엄선된 풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.