TOUGH
두 점 사이의 거리
수직이등분선
출제의도
이 문항은 곡선 위를 움직이는 점 P가 두 정점 A, B로부터 같은 거리에 있다는 조건을 좌표 계산으로 옮기는 문제입니다. 먼저 이차함수와 직선을 연립해 두 교점 A, B를 확정하고, 그다음 AP=BP라는 거리 조건을 식으로 바꾸는 두 단계 구조로 설계되어 있습니다.
TOUGH 스텝에 배치된 이유는 계산 자체가 어려워서가 아닙니다. ‘거리가 같다’는 문장을 거리 공식으로 직접 밀어붙일지, 수직이등분선이라는 도형 성질로 번역할지에 따라 풀이 길이가 두 배 이상 달라지기 때문입니다. 어느 번역을 선택하느냐가 이 문제의 진짜 승부처입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
두 그래프가 만나는 점은 방정식 f(x)=g(x)의 해입니다. 이차방정식을 인수분해하면 교점 A, B의 좌표가 바로 확정됩니다.
AP=BP처럼 거리가 같다는 조건은 두 가지로 번역할 수 있습니다. 하나는 양변을 제곱해 AP²=BP²로 계산하는 것, 다른 하나는 점 P가 선분 AB의 수직이등분선 위에 있다고 읽는 것입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
점 P를 (a, a²+4a−5)로 두고 AP²=BP² 식을 세우세요. 이때 양변을 그대로 전개하지 말고, (a+6)²−(a−1)² 꼴과 제곱식끼리의 차 꼴로 먼저 모은 뒤 합차 인수분해 A²−B²=(A+B)(A−B)를 적용하면 4차항이 저절로 사라집니다.
정리하면 a에 대한 이차방정식 하나만 남습니다. 근의 공식으로 두 근을 구한 뒤, 문제가 요구하는 부호 조건(x좌표는 음수)으로 하나를 선택하면 끝입니다.
정답 확인
정답 ③ 점 P의 x좌표 = −3−√532
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A교점 A, B 확정
f(x)=g(x)를 정리하면 x²+5x−6=0이고, 인수분해하면 x=−6 또는 x=1입니다. 각각 직선의 식에 대입해 A(−6, 7), B(1, 0)을 얻습니다.
STEP B거리 조건 AP=BP 처리
P(a, a²+4a−5)로 놓고 AP²=BP²를 정리합니다. 합차 인수분해를 거치면 양변의 고차항이 소거되어 a²+3a−11=0만 남고, 근의 공식에서 a=(−3±√53)/2가 나옵니다. x좌표가 음수라는 조건으로 a=(−3−√53)/2를 선택합니다.
1등급 다른 풀이 · 수직이등분선
AP=BP를 만족하는 점 P는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있습니다. AB의 중점은 (−5/2, 7/2)이고 AB의 기울기가 −1이므로 수직이등분선의 기울기는 1, 즉 직선 y=x+6입니다.
이 직선을 y=f(x)와 연립하면 x²+4x−5=x+6에서 곧바로 x²+3x−11=0이 나옵니다. 거리 공식 풀이에서 길게 전개했던 과정이 한 줄로 끝나는 셈입니다. 시험장에서 시간을 버는 쪽은 단연 이 접근입니다.
실수를 줄이는 전략
- 루트가 붙은 채로 식을 옮기지 마세요. 거리 조건은 반드시 제곱해서 AP²=BP²로 처리해야 계산이 통제됩니다.
- 제곱식을 만나면 전개보다 인수분해가 먼저입니다. (a+6)²−(a−1)²처럼 ‘제곱의 차’ 꼴은 합차 공식으로 묶는 순간 차수가 내려갑니다.
- 근의 공식으로 두 근을 구했다면 끝이 아닙니다. 문제의 조건(x좌표는 음수)을 다시 읽고 근을 선택해야 정답입니다. 두 근을 모두 쓰면 오답 처리됩니다.
- 최상위권은 ‘거리가 같다 = 수직이등분선’이라는 번역을 먼저 떠올립니다. 같은 유형을 다시 만나면 이 번역부터 시도해 보세요.
엄선된 풀이 영상
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