TOUGH
2018년 09월 고1 학력평가 28번
접선과 판별식
두 직선의 수직 조건
두 점 사이의 거리
출제의도
이 문항은 세 개의 조건이 사슬처럼 이어져 있습니다. 접한다 → 수직이다 → 넓이를 구한다. 앞의 두 조건이 각각 어떤 식으로 번역되는지를 알면 계산은 기계적으로 흘러갑니다.
고1 과정에서 ‘접한다’는 미분이 아니라 판별식 D=0으로 처리합니다. 직선과 이차함수를 연립해 얻은 이차방정식이 중근을 가진다는 뜻이기 때문입니다. 이어서 ‘수직이다’는 두 기울기의 곱이 −1로 번역되고, 여기서 얻은 l₂와 포물선의 교점으로 R이 정해집니다. 마지막 넓이 계산에서는 직각이 어디에 있는지가 관건인데, l₁과 l₂가 점 P에서 수직이므로 삼각형 PRQ는 P가 직각인 직각삼각형이고 넓이는 두 직각변의 곱의 반으로 끝납니다. 조건을 식으로 바꾸는 세 가지 문법을 한 문항에서 모두 확인하는 구성입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 접선 l₁부터 결정해야 합니다. 점 P(1, 1)을 지나는 직선의 기울기를 m으로 놓고 y−1=m(x−1)로 세운 뒤, 이 직선이 y=x²과 접한다는 조건을 어떻게 식으로 바꿀지 생각해 보세요. 두 식을 연립하면 x에 대한 이차방정식이 나오는데, ‘접한다’는 이 방정식의 근에 대한 조건입니다.
l₁이 정해지면 Q는 그 y절편으로 바로 나오고, l₂는 P를 지나면서 l₁에 수직이므로 기울기가 자동으로 정해집니다. 그리고 마지막에 삼각형 PRQ의 직각이 어느 꼭짓점에 있는지를 그림에서 확인해 두세요. 그 한 가지가 넓이 계산의 난이도를 완전히 바꿉니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
연립해서 얻은 x²−mx+m−1=0이 중근을 가지므로 판별식 D=0입니다. 여기서 m이 하나로 결정되고 l₁의 방정식과 Q의 좌표가 따라 나옵니다. 이어 l₂의 기울기는 l₁ 기울기의 음의 역수이고, l₂와 y=x²을 연립해 나온 이차방정식의 두 근 중 P의 x좌표가 아닌 쪽이 R의 x좌표입니다.
넓이는 직각을 이용하세요. l₁⊥l₂이고 두 직선이 점 P에서 만나므로 삼각형 PRQ는 ∠P=90°인 직각삼각형이고, 따라서 S=½×PQ×PR입니다. 선분 QR을 밑변으로 잡고 높이를 구하려 하면 훨씬 번거로워집니다. 마지막으로 문제가 묻는 것은 S가 아니라 40S라는 점을 기억하세요.
정답 확인
정답 40S = 125
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접선 l₁의 방정식과 점 Q의 좌표
점 P(1, 1)을 지나는 직선 l₁의 기울기를 m이라 하면 l₁: y=mx−m+1입니다. 이 직선이 y=x²과 접하므로 연립한 x²−mx+m−1=0이 중근을 가져야 하고, 판별식은 D=m²−4(m−1)=m²−4m+4=(m−2)²=0에서 m=2입니다.
따라서 l₁: y=2x−1이고, y축과 만나는 점은 Q(0, −1)입니다.
STEP B직선 l₂의 방정식과 점 R의 좌표
l₁의 기울기가 2이므로 이에 수직인 l₂의 기울기는 −½이고, 점 P(1, 1)을 지나므로 l₂: y=−½x+32입니다.
y=x²과 연립하면 x²=−½x+32, 즉 2x²+x−3=0이고 (x−1)(2x+3)=0에서 x=1 또는 x=−32입니다. P의 x좌표가 1이므로 R의 x좌표는 −32이고, y=(−32)²=94이므로 R(−32, 94)입니다.
STEP C삼각형 PRQ의 넓이와 40S
세 점 P(1, 1), Q(0, −1), R(−32, 94)에 대하여
PQ = √((0−1)²+(−1−1)²) = √5
PR = √((−32−1)²+(94−1)²) = √(254+2516) = 5√54
PQ⊥PR이므로 S=½×√5×5√54=258이고, 따라서 40S=40×258=125입니다.
1등급 다른 풀이 · 접선 공식과 근과 계수의 관계로 단축하기
계산 단계를 두 군데에서 줄일 수 있습니다.
첫째, 포물선 y=x² 위의 점 (t, t²)에서의 접선은 항상 y=2tx−t² 꼴입니다. 판별식을 세울 필요 없이 t=1을 넣으면 l₁: y=2x−1이 즉시 나오고, y절편이 −t²=−1이므로 Q(0, −1)도 바로 결정됩니다. 접선의 y절편이 −t²라는 사실은 이후 원의 방정식 단원에서도 반복해서 쓰입니다.
둘째, R의 x좌표는 근과 계수의 관계로 한 줄에 나옵니다. 2x²+x−3=0의 두 근의 곱은 −32인데 한 근이 1(=점 P)이므로 다른 근이 곧 −32입니다. 인수분해를 시도하지 않아도 됩니다.
넓이는 신발끈 공식으로 검산하면 안전합니다. S=½|1·(−1−94)+0·(94−1)+(−32)·(1−(−1))| = ½|−134−3| = ½×254 = 258로 같은 값이 나옵니다. 직각 여부와 무관하게 쓸 수 있으므로, 직각을 놓쳤을 때의 보험이 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 문제가 묻는 것은 S가 아니라 40S입니다. S=258은 자연수가 아니므로 40을 곱해 답을 정수로 만드는 구조이고, 여기서 멈추면 그대로 오답입니다. 단답형 문제는 마지막 문장을 다시 읽고 답을 적으세요.
- ‘접한다’는 D=0입니다. D>0(두 점에서 만남)이나 D<0(만나지 않음)과 헷갈리지 마세요. 이 문항에서는 (m−2)²=0으로 깔끔하게 떨어지는데, 이는 접선이 하나뿐임을 뜻합니다.
- 직각의 위치를 반드시 확인하세요. l₁과 l₂가 만나는 점이 P이므로 직각은 ∠P입니다. 밑변을 QR로 잡으면 QR 길이와 점 P까지의 거리를 따로 구해야 해서 계산량이 서너 배로 늘어납니다.
- R의 좌표를 구할 때 y좌표는 x좌표를 포물선에 대입해도 되고 직선 l₂에 대입해도 됩니다. 두 값이 다르게 나온다면 앞에서 계산 실수가 있었다는 뜻이니 검산 도구로 쓰세요.
- PR 계산에서 254+2516=12516이므로 PR=5√54입니다. 통분을 건너뛰고 근호 안을 더하다 보면 여기서 값이 틀어집니다.
엄선된 풀이 영상
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