최다빈출 · 왕중요
TOUGH
두 점 사이의 거리
마름모의 성질
수직이등분선
출제의도
이 문항의 핵심은 B와 D의 좌표를 끝까지 구하지 않는 것입니다. 그림에는 점 B와 점 D가 버젓이 찍혀 있어서 좌표부터 잡고 싶어지지만, 마름모의 조건만으로는 B와 D가 하나로 결정되지 않습니다. 그런데도 직선 l의 방정식은 완전히 결정됩니다. 왜 그럴 수 있는지를 아는 것이 이 문제의 출발점입니다.
답은 마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분한다는 성질에 있습니다. 직선 l은 B와 D를 지나는 직선이자 곧 선분 AC의 수직이등분선이므로, A와 C의 좌표만 알면 기울기(AC 기울기의 음의 역수)와 지나는 점(AC의 중점)이 모두 정해집니다. 주어진 조건 중 대각선 AC의 길이는 미지수 n을 결정하기 위한 장치이고, n>0이라는 단서는 두 근 중 하나를 버리게 하는 장치입니다. 도형의 성질을 좌표로 옮기는 능력과, 마지막에 계수를 비교하는 정리력을 함께 묻습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
주어진 좌표는 A(1, 10)과 C(n, 0)뿐이고, 이 둘을 잇는 정보는 대각선 AC의 길이 2√41 하나입니다. 두 점 사이의 거리 공식으로 n에 대한 방정식을 세워 n부터 확정하세요. 이때 근이 두 개 나오는데, n>0이라는 단서가 왜 붙어 있는지 확인하게 됩니다.
그다음이 이 문제의 갈림길입니다. 직선 l은 B와 D를 지나는 직선, 즉 마름모의 나머지 한 대각선입니다. 마름모의 두 대각선 사이에는 어떤 관계가 성립하는지 떠올려 보세요. 그 관계를 알면 B와 D의 좌표 없이도 직선 l을 결정할 수 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로, 직선 l은 선분 AC의 수직이등분선입니다. 수직이등분선을 결정하는 데 필요한 것은 두 가지뿐입니다. ① 직선 AC의 기울기를 구하고 그 음의 역수를 취해 l의 기울기를 얻는다. ② 선분 AC의 중점 좌표를 구한다. 이 둘로 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식을 세우면 끝입니다.
마지막이 실제 실점이 자주 나오는 지점입니다. 구한 방정식을 문제가 제시한 4x+ay+b=0 꼴로 정리해야 하는데, x의 계수가 반드시 +4가 되도록 맞춰야 a와 b의 부호가 제대로 나옵니다. 분수를 없애기 위해 양변에 5를 곱한 뒤, x의 계수 부호를 확인하고 나서 a와 b를 읽어내세요.
정답 확인
정답 b − a = 10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A대각선 AC의 길이로 n 구하기
두 점 A(1, 10), C(n, 0)에 대하여 AC=√((n−1)²+(0−10)²)=√(n²−2n+101)입니다. 이 값이 2√41이므로 양변을 제곱하면 n²−2n+101=164, 즉 n²−2n−63=0이 되고 (n−9)(n+7)=0에서 n=9 또는 n=−7입니다.
n>0이므로 n=9, 따라서 점 C의 좌표는 C(9, 0)입니다.
STEP B직선 l이 선분 AC의 수직이등분선임을 이용
마름모 ABCD에서 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로, 두 점 B, D를 지나는 직선 l은 선분 AC의 수직이등분선입니다.
기울기 — 두 점 A(1, 10), C(9, 0)을 지나는 직선 AC의 기울기는 (0−10)÷(9−1)=−54이므로, 이에 수직인 직선 l의 기울기는 45입니다.
지나는 점 — 선분 AC의 중점은 ((1+9)/2, (10+0)/2), 즉 (5, 5)입니다.
STEP C한 점과 기울기로 직선 l의 방정식 세우기
점 (5, 5)를 지나고 기울기가 45인 직선의 방정식은 y−5=45(x−5)이고, 양변에 5를 곱해 정리하면 5y−25=4x−20, 즉 4x−5y+5=0입니다.
이를 4x+ay+b=0과 비교하면 a=−5, b=5이므로 b−a=5−(−5)=10입니다.
1등급 다른 풀이 · 수직이등분선을 거리로 정의하기
‘수직이등분선’을 성질로 외워서 쓰는 대신, 정의 그대로 자취를 구하면 기울기와 중점을 따로 계산할 필요가 없습니다.
직선 l 위의 점 P(x, y)는 A와 C에서 같은 거리에 있는 점입니다. 마름모 ABCD에서 AB=CB, AD=CD이므로 B와 D는 모두 이 조건을 만족하고, 두 점을 지나는 직선이 곧 l이기 때문입니다. 따라서 PA=PC, 즉 PA²=PC²에서
(x−1)²+(y−10)² = (x−9)²+(y−0)²
좌변을 전개하면 x²−2x+1+y²−20y+100, 우변은 x²−18x+81+y²입니다. x²과 y²이 소거되고 −2x−20y+101 = −18x+81이 되어 16x−20y+20=0, 양변을 4로 나누면 4x−5y+5=0이 곧바로 나옵니다.
이 방법의 장점은 문제가 요구한 4x+ay+b=0 꼴이 정리 과정에서 자연스럽게 x의 계수가 양수인 형태로 떨어진다는 점입니다. 기울기의 음의 역수를 잘못 잡거나 마지막에 부호를 뒤집는 실수를 원천적으로 피할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- n²−2n−63=0의 두 근 9와 −7 중 n>0 조건으로 −7을 버려야 합니다. 조건이 붙어 있다면 반드시 쓰이는 자리가 있다는 신호이므로, 근을 구한 직후에 바로 확인하는 습관을 들이세요.
- 가장 흔한 실점은 마지막 계수 비교입니다. 4x−5y+5=0을 −4x+5y−5=0으로 정리하면 a=5, b=−5가 되어 b−a=−10이라는 부호 반대 오답이 나옵니다. x의 계수를 +4로 맞춘 뒤에 읽어야 합니다.
- a=−5이므로 ay항은 −5y입니다. 4x+ay+b=0에서 a는 y의 계수 그 자체이지 부호를 뺀 값이 아닙니다.
- 마름모의 대각선은 수직이등분하지만 길이는 다릅니다. 정사각형(대각선 길이가 같음)과 혼동해 BD=AC=2√41로 두면 문제가 어긋납니다.
- B와 D의 좌표를 굳이 구하려 하지 마세요. 이 문제의 조건만으로는 두 점이 하나로 정해지지 않으며, 정해지지 않아도 답에는 아무 영향이 없습니다. 그림에 점이 찍혀 있다고 해서 모두 좌표를 구해야 하는 것은 아닙니다.