TOUGH
2013년 03월 고2 학력평가 A형 28번
넓이의 이등분
직사각형의 대각선
중점
출제의도
이 문항은 ‘넓이를 이등분하는 직선’이라는 조건을 점의 조건으로 바꿔 읽을 수 있는가를 묻습니다. 직사각형의 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 두 대각선의 교점을 지나야 하고, 그 교점은 마주보는 두 꼭짓점의 중점입니다. 이 한 문장을 알고 있으면 문제는 중점 두 번과 기울기 한 번으로 끝납니다.
TOUGH로 분류된 이유는 계산이 아니라 조건이 두 개라는 점에 있습니다. 이등분해야 할 도형이 둘이므로 직선이 지나야 할 점도 둘이고, 그래서 기울기가 하나로 확정됩니다. 조건을 하나만 쓰면 직선이 무수히 많아져 답이 나오지 않습니다. 여기에 그림에서 좌표를 정확히 읽어내는 관찰력까지 함께 요구하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
직사각형은 두 대각선의 교점에 대하여 점대칭인 도형입니다. 그 교점을 지나는 직선으로 자르면 잘린 두 부분은 180° 회전으로 서로 포개어지므로 항상 합동이 되고, 반대로 그 점을 지나지 않는 직선은 결코 넓이를 이등분할 수 없습니다.
즉 “넓이를 이등분한다”는 조건은 “중심을 지난다”는 조건과 같습니다. 이등분해야 할 직사각형이 두 개이므로 직선이 반드시 지나야 하는 점도 두 개입니다. 먼저 그림에서 각 꼭짓점의 좌표부터 정확히 읽어내세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
그림에서 A(−2, 7), C(4, −1), E(−3, 1), G(1, −1)입니다. 직사각형 ABCD의 중심은 대각선 AC의 중점, 직사각형 EFGH의 중심은 대각선 EG의 중점이므로 각각 중점 공식으로 구하세요. 이때 반드시 마주보는 두 꼭짓점을 짝지어야 합니다.
중심 두 개의 좌표가 나오면 남은 일은 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하는 것뿐입니다. 마지막으로 문제가 묻는 값이 m이 아니라 12m이라는 점만 놓치지 마세요. 12를 곱했을 때 정수가 나오는지가 검산 포인트입니다.
정답 확인
정답 18 ( m = 32 )
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A이등분 직선이 지나야 할 두 점 찾기
기울기가 m인 직선이 두 직사각형 ABCD, EFGH의 넓이를 동시에 이등분하려면 두 직사각형의 두 대각선의 교점을 모두 지나야 합니다. 직사각형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로, 대각선의 교점은 곧 마주보는 두 꼭짓점의 중점입니다.
STEP B두 중심의 좌표 계산
( i ) 직사각형 ABCD — A(−2, 7)과 C(4, −1)의 중점이므로 ( (−2+4)/2 , (7+(−1))/2 ), 즉 (1, 3)
( ii ) 직사각형 EFGH — E(−3, 1)과 G(1, −1)의 중점이므로 ( (−3+1)/2 , (1+(−1))/2 ), 즉 (−1, 0)
두 직사각형의 중심이 각각 (1, 3), (−1, 0)으로 확정되었습니다.
STEP C기울기 m과 12m의 값
두 점 (1, 3), (−1, 0)을 지나는 직선의 기울기는 (3−0)/(1−(−1)) = 32입니다. 따라서 m = 32이므로 12m = 12 × 32 = 18이 됩니다.
1등급 다른 풀이 · 왜 중심을 지나야만 하는가
결론만 외우면 비슷하지만 다른 도형이 나왔을 때 흔들립니다. 이유를 한 번 정리해 두면 삼각형·사다리꼴·계단 모양이 나와도 같은 방식으로 대응할 수 있습니다.
직사각형의 중심 P를 지나는 직선을 그으면, 잘린 두 부분은 P를 중심으로 180° 회전시켰을 때 정확히 서로 포개어집니다. 회전이동은 넓이를 바꾸지 않으므로 두 부분은 합동이고 넓이가 같습니다. 반대로 중심을 지나지 않는 직선을 그으면, 그 직선을 중심 P를 지나도록 평행하게 옮겼을 때 지나간 띠 모양의 넓이만큼 한쪽이 더 커지므로 이등분이 될 수 없습니다. 여기서 이등분 직선은 반드시 중심을 지난다는 사실이 나옵니다.
이 관점에서 보면 문제의 구조도 선명해집니다. 조건 하나(직사각형 하나)만 있으면 중심을 지나는 직선은 무수히 많지만, 조건이 둘이면 서로 다른 두 점을 지나는 직선이므로 단 하나로 확정됩니다. 그래서 m의 값이 유일하게 결정되고, 문제가 값을 하나 물을 수 있는 것입니다. 만약 두 중심이 우연히 일치했다면 m은 결정되지 않았을 것입니다.
실수를 줄이는 전략
- 중점을 구할 때는 반드시 마주보는 꼭짓점끼리 짝지으세요. A와 B, E와 F처럼 이웃한 꼭짓점의 중점을 구하면 변의 중점이 나와 전혀 다른 점이 됩니다.
- 그림에서 좌표를 읽을 때 −2와 −3을 혼동하기 쉽습니다. A와 B의 x좌표는 −2로 같고, E와 F의 x좌표는 −3으로 같습니다. 좌표를 읽자마자 네 꼭짓점을 모두 적어 놓고 시작하는 편이 안전합니다.
- 두 도형을 동시에 이등분한다는 조건은 점 두 개를 준 것과 같습니다. 한쪽 조건만 쓰고 기울기를 정하려 하면 미지수가 남습니다.
- 직사각형이 서로 겹쳐 있다는 점에 신경 쓰지 마세요. 각각의 넓이를 이등분하라는 조건이지 겹친 부분을 따로 처리하라는 뜻이 아닙니다.
- 마지막에 묻는 값이 m이 아니라 12m입니다. 기울기 32를 그대로 답으로 쓰지 않도록, 문제의 마지막 문장을 다시 읽고 마무리하세요.