TOUGH
정점을 지나는 직선
넓이의 이등분
중점
출제의도
이 문항은 y=mx−3m+2라는 m이 들어간 직선과 ‘삼각형의 넓이를 이등분한다’는 조건을 연결하는 문제입니다. 좌표를 세 개나 주고 있어 넓이를 직접 계산하는 문제처럼 보이지만, 실제로는 넓이를 단 한 번도 구하지 않고 끝납니다.
TOUGH로 배치된 이유는 두 개의 관문을 순서대로 통과해야 하기 때문입니다. 첫째, m에 관계없이 직선이 항상 지나는 정점이 꼭짓점 A라는 사실을 알아채야 합니다. 둘째, 꼭짓점을 지나면서 넓이를 이등분하는 직선은 대변의 중점을 지난다는 성질을 떠올려야 합니다. 둘 중 하나만 놓쳐도 넓이 식을 세우다가 길을 잃습니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
직선 y=mx−3m+2를 m에 대하여 정리해 보세요. 이항하면 (x−3)m−y+2=0이 됩니다. 이 식이 m의 값에 관계없이 항상 성립하려면 x−3=0이고 −y+2=0이어야 하므로, 이 직선은 m이 무엇이든 항상 점 (3, 2)를 지납니다.
그런데 (3, 2)는 다름 아닌 꼭짓점 A입니다. 즉 이 문제의 직선은 꼭짓점 A를 지나면서 기울기만 바뀌는 직선이었습니다. 여기까지 오면 넓이를 이등분하려면 직선이 어느 점을 더 지나야 하는지가 핵심 질문이 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
꼭짓점 A를 지나는 직선이 변 BC와 만나는 점을 P라 하면, 삼각형 ABP와 삼각형 APC는 높이가 같습니다(꼭짓점 A에서 직선 BC에 내린 수선이 공통 높이). 높이가 같은 두 삼각형의 넓이비는 밑변의 길이비 BP : PC와 같으므로, 넓이가 같아지려면 BP=PC, 즉 P는 선분 BC의 중점이어야 합니다.
이제 B(−1, 3), C(1, −1)의 중점 M을 구하고, 직선이 M을 지난다는 조건을 원래 식에 대입해 m을 구하면 됩니다. 대입할 때 x좌표가 0이라 mx 항이 통째로 사라진다는 점이 계산을 아주 짧게 만들어 줍니다.
정답 확인
정답 ② m = 13
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A직선이 항상 지나는 정점 찾기
y=mx−3m+2를 m에 대하여 정리하면 (x−3)m−y+2=0입니다. m의 값에 관계없이 이 등식이 성립하려면 x−3=0, −y+2=0이어야 하므로 직선은 항상 점 (3, 2)를 지납니다.
이 점은 삼각형 ABC의 꼭짓점 A와 같습니다. 따라서 문제의 직선은 꼭짓점 A를 지나는 직선들의 모임입니다.
STEP B넓이를 이등분하는 조건을 중점으로 바꾸기
꼭짓점 A를 지나면서 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선은 대변인 선분 BC의 중점 M을 지납니다. A에서 BC까지의 거리가 두 작은 삼각형의 공통 높이이므로, 넓이가 같아지는 조건은 밑변이 같아지는 조건 BM=MC와 같기 때문입니다.
두 점 B(−1, 3), C(1, −1)에 대하여 중점 M의 좌표는 ((−1+1)/2, (3+(−1))/2), 즉 M(0, 1)입니다.
STEP CM을 대입하여 m 구하기
직선 y=mx−3m+2가 점 M(0, 1)을 지나므로 1=m×0−3m+2에서 3m=1입니다.
따라서 m=13이고 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 점을 지나는 직선으로 계수 비교
정점 A와 중점 M을 모두 구했다면, 굳이 대입하지 않고 직선을 직접 만들어 계수를 비교해도 됩니다.
두 점 A(3, 2), M(0, 1)을 지나는 직선의 기울기는 (1−2)/(0−3)=1/3이고, y절편이 1이므로 그 직선은 y=(1/3)x+1입니다. 한편 문제의 직선은 y=mx+(−3m+2)이므로 두 식이 일치하려면 기울기끼리 m=1/3, 상수항끼리 −3m+2=1이어야 하고 두 조건이 모두 m=1/3에서 만납니다.
이 방식의 장점은 검산이 저절로 된다는 점입니다. 기울기에서 얻은 m과 상수항에서 얻은 m이 일치하는지 확인하는 순간, 앞에서 구한 정점이나 중점이 틀렸다면 두 값이 어긋나면서 바로 드러납니다.
실수를 줄이는 전략
- ‘m에 관계없이 항상 지나는 점’은 m에 대한 항등식으로 처리합니다. 식을 (x−3)m+(−y+2)=0 꼴로 묶은 뒤 m의 계수와 상수항을 각각 0으로 두는 절차를 기계적으로 익혀두세요. m=0, m=1을 대입해 두 직선의 교점을 구하는 방법도 같은 답을 줍니다.
- 넓이를 이등분하는 직선이 항상 중점을 지나는 것은 아닙니다. 이 성질은 직선이 꼭짓점을 지날 때만 성립합니다. 꼭짓점을 지나지 않는 이등분선은 중점과 무관하므로, 정점이 꼭짓점인지 먼저 확인하는 것이 순서입니다.
- 중점을 잡을 변을 헷갈리지 마세요. 직선이 지나는 꼭짓점이 A이므로 A의 대변인 BC의 중점입니다. AB나 AC의 중점을 잡으면 답이 완전히 달라집니다.
- 중점 공식에서 좌표의 부호를 그대로 대입하세요. B의 y좌표 3과 C의 y좌표 −1을 더할 때 부호를 놓치면 M(0, 2)가 되어 m=0이라는 오답이 나옵니다.
- 마지막 대입에서 x=0이므로 mx 항은 사라집니다. 이때 −3m+2=1을 −3m=−1로 옮기는 과정에서 부호를 잘못 처리하면 m=−1/3이 되어 선택지에 없는 값이 나옵니다. 답이 선택지에 없으면 반드시 이 줄부터 다시 보세요.