TOUGH
기울기와 y절편
사분면 판정
부호 추론
출제의도
이 문항은 일반형 ax+by+c=0을 y=−(a/b)x−(c/b) 꼴로 고친 뒤, 계수의 곱의 부호만 가지고 기울기와 y절편의 부호를 읽어내는 문제입니다. a, b, c의 개별 부호는 끝까지 알 수 없고 알 필요도 없다는 점이 이 문제의 핵심 장치입니다.
TOUGH로 배치된 이유는 계산이 아니라 부호 변환의 연결고리 때문입니다. 주어진 것은 ac, ab, bc 같은 두 문자의 곱인데 필요한 것은 a/b와 c/b라는 분수의 부호입니다. 이 둘을 잇는 다리를 못 찾으면 경우를 하나하나 나누다가 시간을 다 쓰게 됩니다. 다리만 놓이면 세 보기가 각각 두 줄로 끝납니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 직선을 y에 대해 풀어 두세요. ab, bc를 다루는 문제이므로 b≠0이고, ax+by+c=0에서 y=−(a/b)x−(c/b)입니다. 즉 기울기는 −a/b, y절편은 −c/b입니다.
이제 다리를 놓을 차례입니다. a/b의 분모와 분자에 b를 곱하면 a/b=ab/b²이고 b²>0이므로 a/b의 부호는 ab의 부호와 같습니다. 같은 이유로 c/b의 부호는 bc의 부호와 같습니다. 문제가 곱의 부호만 주는 이유가 여기에 있습니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
보기 ㄱ과 ㄷ에는 ab의 조건이 직접 주어져 있지 않습니다. 이때는 주어진 두 조건을 곱해 보세요. ㄱ에서 (ac)(bc)=abc²이고 c²>0이므로 abc²<0이면 ab<0입니다. ㄷ에서 (ab)(ac)=a²bc이고 a²>0이므로 부호를 곱해 bc의 부호를 얻을 수 있습니다.
세 보기 모두 (기울기 부호, y절편 부호)를 확정하는 것이 마지막 관문입니다. 부호 조합은 (+,+), (+,−), (−,+), (−,−) 네 가지뿐이고, 각각 지나지 않는 사분면이 정확히 하나씩 정해집니다. 이 대응을 외워두면 그래프를 그리지 않아도 판정이 끝납니다.
정답 확인
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A직선을 y에 대해 정리하고 부호의 다리를 놓기
b≠0이므로 ax+by+c=0은 y=−(a/b)x−(c/b)로 고칠 수 있고, 기울기는 −a/b, y절편은 −c/b입니다.
여기서 a/b=ab/b², c/b=bc/b²이고 b²>0이므로 a/b의 부호는 ab, c/b의 부호는 bc가 결정합니다. 즉 기울기 −a/b는 ab<0일 때 양수, y절편 −c/b는 bc<0일 때 양수입니다.
STEP B보기별로 두 부호 확정하기
ㄱ. ac>0, bc<0 — 두 식을 곱하면 abc²<0이고 c²>0이므로 ab<0, 따라서 −a/b>0입니다. 또 bc<0에서 −c/b>0입니다. 기울기와 y절편이 모두 양수이므로 제 1, 2, 3사분면을 지납니다. [참]
ㄴ. ab>0, bc<0 — ab>0에서 −a/b<0, bc<0에서 −c/b>0입니다. 기울기가 음수이고 y절편이 양수인 직선은 제 1, 2, 4사분면을 지나므로 제 3사분면을 지나지 않습니다. [참]
ㄷ. ab<0, ac<0 — 두 식을 곱하면 a²bc>0이고 a²>0이므로 bc>0입니다. ab<0에서 −a/b>0, bc>0에서 −c/b<0이므로 기울기는 양수, y절편은 음수입니다. 이 직선은 제 1, 3, 4사분면을 지나므로 제 2사분면을 지나지 않습니다. [참]
STEP C결론
ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 참이므로 옳은 것을 있는 대로 고른 것은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 부호 조합 4가지를 표로 외워두기
기울기와 y절편의 부호가 정해지면 지나는 사분면은 자동으로 결정됩니다. 원점을 지나지 않는 직선은 반드시 세 사분면만 지나고 하나는 지나지 않는다는 사실을 이용하면 판정이 한 줄로 끝납니다.
기울기 +, y절편 + → 제 1, 2, 3사분면 (제 4사분면을 지나지 않음)
기울기 +, y절편 − → 제 1, 3, 4사분면 (제 2사분면을 지나지 않음)
기울기 −, y절편 + → 제 1, 2, 4사분면 (제 3사분면을 지나지 않음)
기울기 −, y절편 − → 제 2, 3, 4사분면 (제 1사분면을 지나지 않음)
이 표를 기억하면 이 문항은 각 보기에서 (ab의 부호, bc의 부호)만 뽑아내면 끝납니다. ㄱ은 (−,−)이라 기울기·절편 모두 양수, ㄴ은 (+,−)이라 음·양, ㄷ은 (−,+)이라 양·음이 되어 세 보기가 각각 표의 1행, 3행, 2행에 대응합니다.
실수를 줄이는 전략
- 기울기는 a/b가 아니라 −a/b입니다. 마이너스를 빠뜨리면 세 보기의 결론이 정확히 반대로 뒤집혀 ①이나 ②를 고르게 됩니다. y에 대해 정리한 식을 반드시 한 번 써 두고 시작하세요.
- a, b, c 각각의 부호를 정하려 들지 마세요. 예를 들어 ac>0은 (a>0, c>0)과 (a<0, c<0) 두 가지이고 여기에 b까지 곱하면 경우가 폭발합니다. 이 문제는 처음부터 끝까지 곱의 부호만으로 풀립니다.
- 조건이 두 개 주어졌는데 필요한 곱이 없으면 두 조건을 곱하세요. 제곱 인수(b², c², a²)는 항상 양수이므로 부호에 영향을 주지 않고 사라집니다. 이 문항의 진짜 기술이 바로 이것입니다.
- b=0이면 직선이 y축에 평행해져 기울기 자체가 없습니다. ab, bc 조건이 부등호로 주어졌다는 것은 b≠0을 뜻하므로, 시작할 때 이 전제를 확인하고 넘어가는 습관을 들이세요.
- ‘지나는 사분면’과 ‘지나지 않는 사분면’을 혼동하지 마세요. ㄱ은 지나는 사분면을, ㄴ·ㄷ은 지나지 않는 사분면을 묻고 있어 문장의 방향이 서로 다릅니다. 판정을 마친 뒤 보기 문장을 한 번 더 읽고 참·거짓을 적으세요.