쎈미적분1 0809

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · f′(x)에서 f(x) 구하기

0809
난이도 상
닫힌구간 최대·최소
적분상수 소거
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쎈 미적분1 0809번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

최솟값은 증감표가, 최댓값은 양 끝값 비교가 정한다 — C는 어차피 소거된다

0<k<2라는 단서가 이 문제의 전부입니다. 이 조건 덕분에 k는 구간 [0, 3] 안쪽에 있고, f′(x)=x(x−k)의 부호가 x=k에서 −에서 +로 바뀌므로 최솟값 위치가 x=k로 확정됩니다. 남은 문제는 최댓값이 f(0)이냐 f(3)이냐인데, f(3)−f(0)=9−9k/2의 부호를 0<k<2로 판정하면 f(3)입니다. 위치 두 개만 잡으면 나머지는 k에 대한 삼차방정식 풀이입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 0<k<2가 왜 붙어 있을까
f′(x)=x²−kx=x(x−k)이므로 f′(x)=0에서 x=0 또는 x=k.
0<k<2<3이니 k는 구간 [0, 3]의 내부에 있습니다. 증감표를 그리면 0<x<k에서 감소, k<x<3에서 증가 → x=k에서 최소.
힌트 2 — 최댓값은 왼쪽 끝일까 오른쪽 끝일까
f(x)=∫(x²−kx)dx=⅓x³−(k/2)x²+C이므로 f(0)=C, f(3)=9−(9/2)k+C.
둘의 차 f(3)−f(0)=9−(9/2)k에 0<k<2를 넣으면 0<9−(9/2)k<9, 즉 양수입니다. 그러니 최댓값은 f(3).
힌트 3 — C는 뺄셈에서 사라진다
f(k)=⅓k³−½k³+C=−⅙k³+C.
f(3)−f(k)=9−(9/2)k+⅙k³=14/3. 양변에 6을 곱하면 k³−27k+26=0.
k=1이 근이므로 (k−1)(k²+k−26)=0. 마지막에 0<k<2로 근을 걸러내는 것까지가 답입니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 k = 1

쎈 미적분1 0809번 해설

검산 — k=1을 도로 넣어 보기

k=1이면 f(x)=⅓x³−½x²+C. 최솟값은 f(1)=⅓−½+C=−⅙+C, 최댓값은 f(3)=9−4.5+C=4.5+C.
차는 4.5+⅙=27/6+1/6=28/6=14/3. 문제 조건과 일치합니다. 삼차방정식을 푼 뒤에는 이렇게 30초만 되돌려 넣어 보면 인수분해 실수를 잡을 수 있습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x=0을 최댓값 자리로 단정한다
    x=0은 구간의 왼쪽 끝점일 뿐입니다. 닫힌구간의 최댓값 후보는 극대점과 양 끝점 전부이므로, f(0)과 f(3)을 반드시 비교해야 합니다. 이 문제에서는 0<k<2 덕분에 f(3)이 더 큽니다.
  • 최댓값·최솟값 위치를 안 정하고 f(3)−f(0)을 차로 쓴다
    차가 14/3인 것은 최댓값−최솟값입니다. 최솟값은 f(0)이 아니라 f(k)예요. f(3)−f(0)=14/3으로 세우면 k=26/27이 나오는데 이 값도 0<k<2를 통과해 버리기 때문에 틀린 줄도 모르고 넘어갑니다. 가장 위험한 실수입니다.
  • f(k)의 통분에서 부호를 놓친다
    f(k)=⅓k³−½k³입니다. 통분하면 (2k³−3k³)/6=−⅙k³. 여기서 +⅙k³으로 쓰면 f(3)−f(k)에서 부호가 두 번 뒤집혀 k³ 항이 사라진 이차식이 나옵니다.
  • 적분상수 C를 구하려고 시간을 쓴다
    구하는 것은 두 함숫값의 차이므로 C는 자동으로 소거됩니다. C=0으로 임의로 놓아도 답은 같지만, 답안에는 f(3)−f(k) 형태로 남겨 C가 지워지는 과정을 보이는 편이 안전합니다.
  • k³−27k+26=0의 근을 걸러내지 않는다
    (k−1)(k²+k−26)=0에서 k²+k−26=0의 근은 (−1±√105)/2로 약 4.62와 −5.62입니다. 둘 다 0<k<2 밖이므로 k=1만 답. 조건 확인 한 줄을 반드시 적으세요.

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