쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 09 부정적분과 접선의 기울기
0794
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접선의 기울기
근과 계수의 관계
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문제를 읽자마자
출제의도
부정적분으로 f(x)를 복원한 뒤 근과 계수의 관계로 넘어가는 두 단계 문제
앞 문제들과 달리 뒤쪽에 다른 단원이 붙어 있습니다. 앞 절반은 유형 09 그대로 — 기울기를 적분해 f(x)를 만들고 지나는 점으로 C를 결정합니다. 문제는 뒷 절반입니다. “방정식 f(x)=0의 모든 근의 합”이라는 문장은 근을 실제로 구하라는 뜻이 아니라 이차방정식의 근과 계수의 관계를 쓰라는 신호입니다. 근을 직접 구하려고 근의 공식을 꺼내는 순간 이 문제는 풀리지 않습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 먼저 f(x)부터 만들기
접선의 기울기가 −6x+k이므로 f′(x)=−6x+k. 이를 적분하면 f(x)=−3x²+kx+C입니다.
점 (0, 2)를 지난다는 조건은 f(0)=2이고, x=0을 넣으면 앞의 두 항이 사라져 C=2가 바로 나옵니다.
점 (0, 2)를 지난다는 조건은 f(0)=2이고, x=0을 넣으면 앞의 두 항이 사라져 C=2가 바로 나옵니다.
힌트 2 — “근의 합”이라는 단어에 반응하기
f(x)=−3x²+kx+2=0은 이차방정식입니다. 근을 구할 필요가 없습니다.
ax²+bx+c=0의 두 근의 합은 −b/a. 여기서 a와 b가 각각 무엇인지만 정확히 짚으세요.
ax²+bx+c=0의 두 근의 합은 −b/a. 여기서 a와 b가 각각 무엇인지만 정확히 짚으세요.
힌트 3 — 부호가 두 번 뒤집히는 자리
a=−3, b=k이므로 근의 합은 −k/(−3)=k/3입니다. 마이너스가 두 번 나와 결국 양수가 됩니다.
이 값이 2/9이므로 k/3=2/9. 양변에 3을 곱하면 k가 나옵니다.
이 값이 2/9이므로 k/3=2/9. 양변에 3을 곱하면 k가 나옵니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 k = 2/3
검산용 지름길 — 분수 계수가 싫으면 양변에 −3을 곱한다
k=2/3을 넣으면 −3x²+(2/3)x+2=0. 양변에 −3을 곱하면 9x²−2x−6=0이 되어 계수가 모두 정수로 정리됩니다.
여기서 근의 합은 −(−2)/9=2/9 ✔ . 방정식 전체에 상수를 곱해도 근은 바뀌지 않으므로, 분수 계수 때문에 헷갈릴 때는 이렇게 정수로 바꿔 놓고 확인하는 편이 안전합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
근의 합을 −k로 계산한다
x² 계수가 1이라고 착각해서 생기는 실수입니다. 여기서 a=−3입니다. 근의 합은 −b/a=−k/(−3)=k/3. 마이너스가 두 번 나온다는 점을 반드시 짚고 넘어가세요. -
점 (0, 2)를 f′(0)=2로 대입한다
“곡선 y=f(x)가 점 (0, 2)를 지난다”이므로 f(0)=2입니다. f′에 넣으면 k=2라는 엉뚱한 값이 먼저 나와 버립니다. 곡선 위의 점은 f, 접선의 기울기는 f′ — 이 구분이 이 단원 전체의 기본입니다. -
근을 직접 구하려고 근의 공식을 꺼낸다
k가 미지수인 상태에서 근의 공식을 쓰면 루트 안에 k가 들어가 손을 쓸 수 없습니다. “모든 근의 합”이라는 표현은 근과 계수의 관계를 쓰라는 신호입니다. -
적분상수 C를 빠뜨린다
f(x)=−3x²+kx까지만 쓰면 상수항이 사라져 근의 합이 아니라 곱 조건이 어긋납니다. 부정적분에는 항상 +C입니다. -
k/3=2/9에서 곱하기와 나누기를 바꾼다
양변에 3을 곱해 k=6/9=2/3입니다. 3으로 나누면 2/27이 나옵니다. 분수끼리의 등식에서는 한 단계씩 적어 두는 편이 빠릅니다.