쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 09 부정적분과 접선의 기울기
0793
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문제를 읽자마자
출제의도
“정비례”를 비례상수 a로 번역하고, 미지수 두 개를 두 점으로 잡는 문제
이 유형의 핵심은 딱 하나입니다. 접선의 기울기라는 말이 나오면 곧바로 f′(x)로 옮겨 적고, 적분해서 f(x)를 복원하는 것. 다만 이 문제는 “x²에 정비례”라고만 했기 때문에 f′(x)=ax²로 비례상수를 하나 더 세워야 합니다. 그러면 미지수가 a와 적분상수 C, 총 두 개. 그래서 문제도 지나는 점을 두 개 준 것입니다. 미지수 개수와 조건 개수를 맞춰 보는 습관이 이 문제를 푸는 감각입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — “정비례”는 문자를 세우라는 말
접선의 기울기가 x²에 정비례한다는 것은 f′(x)=ax² (a는 상수, a≠0)이라는 뜻입니다.
y가 x에 정비례하면 y=ax인 것과 똑같습니다. f′(x)=x²로 놓고 시작하면 조건 하나가 통째로 사라집니다.
y가 x에 정비례하면 y=ax인 것과 똑같습니다. f′(x)=x²로 놓고 시작하면 조건 하나가 통째로 사라집니다.
힌트 2 — 적분하면 미지수가 두 개
f(x)=∫ax²dx=(a/3)x³+C. 여기서 모르는 것은 a와 C, 두 개입니다.
그래서 문제가 지나는 점을 두 개 준 것입니다. 미지수 2개, 조건 2개 — 연립방정식이 만들어집니다.
그래서 문제가 지나는 점을 두 개 준 것입니다. 미지수 2개, 조건 2개 — 연립방정식이 만들어집니다.
힌트 3 — 대입 순서를 고르세요
(0, −1)을 먼저 넣으면 x³항이 통째로 0이 되어 C=−1이 한 줄에 나옵니다.
그 다음 (−1, 0)을 넣으면 −a/3+C=0. C를 대입해 a를 구하고, f(x)를 완성한 뒤 x=−2를 넣으세요.
그 다음 (−1, 0)을 넣으면 −a/3+C=0. C를 대입해 a를 구하고, f(x)를 완성한 뒤 x=−2를 넣으세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ④ 7
검산용 지름길 — f(x)를 완성했으면 두 점을 다시 넣어 본다
구한 식은 f(x)=−x³−1입니다. 검산은 30초면 끝납니다.
f(−1)=−(−1)−1=1−1=0 ✔ , f(0)=−1 ✔ . 두 점이 모두 맞으면 a와 C가 옳게 잡힌 것이므로, 남은 계산 f(−2)=−(−8)−1=8−1=7만 확인하면 됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
비례상수를 빼고 f′(x)=x²으로 놓는다
이 문제에서 가장 많이 나오는 실수입니다. “x²이다”가 아니라 “x²에 정비례한다”입니다. f′(x)=ax²으로 놓아야 두 점 조건이 둘 다 쓰입니다. 상수를 빼면 f(0)=−1은 맞지만 f(−1)=0이 성립하지 않아 모순이 생깁니다. -
적분상수 C를 빠뜨린다
부정적분에는 반드시 +C가 붙습니다. C를 빼면 f(x)=(a/3)x³이 되어 f(0)=0이 강제되고, (0, −1)을 지난다는 조건과 충돌합니다. -
(−1)³의 부호를 놓친다
(a/3)(−1)³=−a/3입니다. +a/3으로 쓰면 a=3이 나와 답이 ①이 됩니다. 홀수 거듭제곱에 음수를 넣을 때는 괄호를 치고 한 단계씩 적으세요. -
좌표를 뒤집어 대입한다
(−1, 0)은 f(−1)=0이고, (0, −1)은 f(0)=−1입니다. 두 점의 숫자가 −1과 0으로 비슷해서 서로 바꿔 넣는 실수가 잦습니다. 대입하기 전에 “앞이 x, 뒤가 f(x)”를 한 번 되뇌세요. -
f(−2)에서 −x³의 부호를 한 번 더 틀린다
f(x)=−x³−1에 x=−2를 넣으면 −(−2)³−1=−(−8)−1=8−1=7입니다. 마이너스가 겹쳐 나오는 자리이므로 −8을 그대로 −8로 쓰면 −9가 되어 선택지에 없는 값이 나옵니다.