쎈미적분1 0782

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쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · f′(x)로 f(x) 구하기

0782
난이도 중
서술형
부정적분
인수정리
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쎈 미적분1 0782번 문제

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출제의도

부정적분으로 미지수 두 개를 만들고, 인수정리로 조건 두 개를 만드는 문제

f′(x)를 적분하면 미지의 k와 적분상수 C, 미지수가 둘입니다. 그러면 조건도 반드시 둘이어야 하죠. 그 두 개를 어디서 캐내느냐가 이 문제의 전부입니다. 답은 “x²+x−2로 나누어떨어진다”는 한 문장 — 인수분해하면 (x+2)(x−1)이니 f(−2)=0, f(1)=0 두 식이 나옵니다. 서술형이므로 채점 기준도 적분 40%, 연립 40%, 대입 20%로 이 흐름 그대로 쪼개져 있습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 먼저 f(x)의 모양부터
f(x) = ∫(9x²+12x+k)dx = 3x³ + 6x² + kx + C.
여기서 모르는 문자가 k와 C, 두 개라는 사실을 종이 위에 적어 두세요. 조건 두 개를 찾아야 한다는 신호입니다.
힌트 2 — “나누어떨어진다”를 식으로
x²+x−2 = (x+2)(x−1).
f(x)가 이것으로 나누어떨어지면 인수정리에 의해 f(−2)=0 이고 f(1)=0. 조건 두 개가 확보됐습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(−2)=0에서 −24+24−2k+C=0, 즉 2k−C=0.
f(1)=0에서 3+6+k+C=0, 즉 k+C=−9.
두 식을 더하면 3k=−9. 서술형이니 ① 적분한 f(x) ② 두 조건과 연립 ③ f(2) 대입, 세 덩어리가 답안지에 모두 남아야 합니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 f(2) = 36

쎈 미적분1 0782번 해설 1
쎈 미적분1 0782번 해설 2

채점 기준

❶ f′(x)의 부정적분을 구할 수 있다 40%
❷ k, C의 값을 구할 수 있다 40%
❸ f(2)의 값을 구할 수 있다 20%
검산용 지름길 — 나눗셈 형태로 통째로 놓기

f(x)는 최고차항이 3x³인 삼차식이고 (x+2)(x−1)로 나누어떨어지므로 f(x) = (x+2)(x−1)(3x+a)로 놓을 수 있습니다.
전개하면 3x³ + (a+3)x² + (a−6)x − 2a. x² 계수를 비교해 a+3=6에서 a=3. 곧 k=a−6=−3, C=−2a=−6으로 위 결과와 일치합니다.
게다가 f(2) = 4 × 1 × 9 = 36이 전개 없이 바로 나옵니다. 다만 서술형 답안은 채점 기준 ❶❷의 흐름대로 쓰고, 이 방법은 검산에만 쓰세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 적분상수 C를 빼먹는다
    C가 없으면 미지수가 k 하나뿐이라 조건 두 개 중 하나가 모순처럼 보이고, 문제가 잘못됐다고 생각하게 됩니다. 이 문항에서 C는 장식이 아니라 반드시 구해야 할 미지수입니다.
  • x²+x−2를 (x−2)(x+1)로 잘못 인수분해한다
    합이 +1, 곱이 −2인 두 수는 +2와 −1입니다. 따라서 (x+2)(x−1). 부호를 뒤집으면 f(2)=0, f(−1)=0을 쓰게 되어 전부 어긋납니다. 전개해서 원식이 나오는지 한 번 확인하세요.
  • f(−2) 대입에서 3(−2)³의 부호를 놓친다
    3(−2)³ = 3×(−8) = −24, 6(−2)² = 6×4 = +24입니다. 두 항이 상쇄되어 −2k+C=0이 남는 것이 이 문제의 예쁜 지점인데, 여기서 부호 하나만 틀려도 연립이 완전히 달라집니다.
  • 서술형인데 f(2)=36만 적는다
    채점 기준 ❸은 20%입니다. 적분한 f(x) 식(❶ 40%)과 k=−3, C=−6을 구하는 연립 과정(❷ 40%)이 답안지에 남아 있지 않으면 나머지 80%가 날아갑니다.
  • k와 C를 구하고 멈춘다
    구하는 값은 f(2)입니다. f(x)=3x³+6x²−3x−6에 x=2를 넣어 24+24−6−6=36까지 끝내세요. 24와 24를 더한 뒤 6을 두 번 빼는 것도 놓치기 쉬운 자리입니다.

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