쎈수학 미적분Ⅰ · 07 부정적분 · 유형 05 부정적분의 계산
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대표 문제
부정적분의 계산
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문제를 읽자마자
출제의도
따로 적분하지 말고 먼저 하나로 합쳐라 — 합치는 순간 √x 가 사라진다
유형 05의 대표 문제입니다. ∫f dx + ∫g dx = ∫(f+g)dx 라는 성질을 계산을 편하게 만들기 위해 쓰는 것이 핵심이죠. 각각 전개해서 적분하려 들면 √x 항 때문에 지저분해지지만, 두 식을 먼저 더하면 (a+b)²+(a−b)²=2a²+2b² 꼴로 무리항이 통째로 소거되어 다항식 적분만 남습니다. 마지막으로 f(1)=5가 적분상수 C를 잡아 줍니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 적분 기호 두 개를 하나로
두 부정적분의 합은 피적분함수를 더한 뒤 한 번에 적분한 것과 같습니다.
f(x) = ∫{(2+√x)² + (2−√x)²}dx 로 먼저 묶으세요. 계산 순서를 바꾸는 것만으로 문제가 반쯤 풀립니다.
f(x) = ∫{(2+√x)² + (2−√x)²}dx 로 먼저 묶으세요. 계산 순서를 바꾸는 것만으로 문제가 반쯤 풀립니다.
힌트 2 — 곱셈공식이 무리항을 지운다
(a+b)² + (a−b)² = 2a² + 2b² 입니다. a=2, b=√x 로 보면
2·4 + 2·(√x)² = 2x + 8.
√x 항이 서로 상쇄되어 남는 것은 일차식뿐입니다.
2·4 + 2·(√x)² = 2x + 8.
√x 항이 서로 상쇄되어 남는 것은 일차식뿐입니다.
힌트 3 — 상수 C는 f(1)이 정한다
∫(2x+8)dx = x² + 8x + C.
f(1)=5이므로 1+8+C=5에서 C=−4. 함수를 완성한 다음 x=2를 대입하세요. 묻는 것은 f(2)입니다.
f(1)=5이므로 1+8+C=5에서 C=−4. 함수를 완성한 다음 x=2를 대입하세요. 묻는 것은 f(2)입니다.
다 풀고 나서
정답과 해설
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정답 16
공식을 잊었다면 — 직접 전개해도 같은 자리에 도착한다
(2+√x)² = 4+4√x+x, (2−√x)² = 4−4√x+x. 더하면 4√x와 −4√x가 지워지고 2x+8이 남습니다.
전개해서 확인하든 곱셈공식을 쓰든 결과는 같지만, 시험장에서는 더한 뒤에 전개하는 순서가 훨씬 빠릅니다. 순서를 반대로 해서 각각 적분하면 x√x 꼴이 나와 미적분Ⅰ 범위에서 벗어난 계산을 하게 됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
두 적분을 각각 계산하려 든다
따로 적분하면 √x = x1/2의 부정적분이 필요해 막힙니다. 적분 기호가 두 개 이상 보이고 피적분함수가 닮았다면, 합치는 것이 먼저입니다. -
(2−√x)²의 가운데 항 부호를 놓친다
4 − 4√x + x 입니다. 여기서 +4√x로 쓰면 무리항이 소거되지 않고 8√x가 남아 계산이 완전히 달라집니다. 부호가 다른 두 식을 더한다는 점을 눈으로 확인하세요. -
적분상수를 두 개로 남긴다
합쳐서 한 번 적분했으니 C도 하나입니다. C₁+C₂를 그대로 끌고 가면 f(1)=5로 값을 정할 수 없습니다. 상수는 하나로 묶어 C로 두세요. -
C를 구하고 함수에 반영하지 않는다
C=−4를 구한 뒤 f(x)=x²+8x−4로 다시 적어야 합니다. C가 −4라는 것만 확인하고 x²+8x에 2를 대입하면 20이 나옵니다. 완성된 f(x)를 한 줄 더 쓰는 습관이 이 실수를 막습니다. -
f(1)과 f(2)를 헷갈린다
f(1)=5는 주어진 조건, 구하는 값은 f(2)입니다. C를 구한 순간 문제를 다 푼 기분이 들어 그대로 5를 답으로 옮겨 적는 경우가 있습니다. f(2)=4+16−4=16까지 반드시 계산하세요.